Lo esencial del álgebra lineal en scipy.linalg

Las matrices, la maquinaria de las carteras

Un problema de carteras es un problema de matrices. La matriz de covarianzas $\Sigma$ contiene las varianzas y los co-movimientos de los activos, y casi toda tarea pide hacer algo con ella. scipy.linalg.solve(A, b) resuelve $A\mathbf x=\mathbf b$ para la incógnita $\mathbf x$ . No se debe calcular la inversa inv(A) y multiplicar: la resolución directa hace menos trabajo y pierde menos precisión. La factorización de Cholesky, linalg.cholesky(S, lower=True), descompone una matriz de covarianzas como $\Sigma=LL^{\top}$ , donde $L$ es triangular inferior, es decir, con ceros sobre la diagonal. Si $\mathbf z$ es un vector de números normales estándar independientes, entonces $L\mathbf z$ tiene covarianza $\Sigma$ , y así se simulan rendimientos correlacionados.

Los valores propios de $\Sigma$ dicen cuántas fuentes independientes de riesgo hay en realidad. linalg.eigvalsh(S) los devuelve para una matriz simétrica, del menor al mayor. Para dos activos con correlación $\rho$ , la matriz de correlación tiene valores propios $1+\rho$ y $1-\rho$ , así que activos muy correlacionados tienen un valor propio grande y uno diminuto. El cociente entre el mayor y el menor es el número de condición. Un número de condición grande significa que la matriz es casi singular, es decir, casi imposible de invertir, y un pequeño cambio en los datos puede mover mucho el resultado. Los optimizadores que toman la inversa de $\Sigma$ son sensibles justo a esto.

A\mathbf x=\mathbf b\ \Rightarrow\ \mathbf x=\text{solve}(A,\mathbf b),\qquad \Sigma=LL^{\top},\quad \mathbf r=L\mathbf z,\qquad \kappa(\Sigma)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}

(1)

Dos activos a manoTomemos

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. Su factor de Cholesky es

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&\sqrt2\end{pmatrix}

, porque

LL^{\top}

4

2

2

1+2=3

. Para sorteos independientes

z=(1;1)

, el sorteo correlacionado es

Lz=(2;\,1+\sqrt2)=(2;\,2{,}414)

. Para resolver

\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

se elimina y se halla

\mathbf x=(0{,}8;\,1{,}4)

. Una matriz de correlación con

\rho=0{,}9

tiene valores propios

1{,}9

0{,}1

, así que el primer factor lleva

1{,}9/2=95\%

de la varianza total. Una matriz con valores propios

1

3

tiene número de condición

3

. Con datos reales, SPY, QQQ y TLT en

5\,404

días tienen una correlación de

0{,}92

entre SPY y QQQ y de unos

-0{,}3

entre cada uno y TLT. La matriz de correlación tiene valores propios

0{,}08

0{,}86

2{,}06

, así que un factor lleva el

69\%

de la varianza, y el número de condición es

26

Resolver, no invertir: solve(A, b) es más rápido y preciso que inv(A) @ b.
Cholesky fabrica correlación: multiplique normales independientes por $L$ para obtener rendimientos con covarianza $\Sigma$ .
Vigilar el número de condición: activos muy correlacionados hacen $\Sigma$ casi singular y las soluciones inestables.

Lab: qué se califica

El factor de Cholesky20 pts
Resolver un sistema10 pts
Un número de condición10 pts
La parte de varianza de un factor10 pts
Para qué sirve cada rutina15 pts
Simular rendimientos correlacionados10 pts
Por qué no invertir25 pts

Las matrices, la maquinaria de las carteras

A\mathbf x=\mathbf b\ \Rightarrow\ \mathbf x=\text{solve}(A,\mathbf b),\qquad \Sigma=LL^{\top},\quad \mathbf r=L\mathbf z,\qquad \kappa(\Sigma)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}

(1)

Dos activos a manoTomemos

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. Su factor de Cholesky es

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&\sqrt2\end{pmatrix}

, porque

LL^{\top}

4

2

2

1+2=3

. Para sorteos independientes

z=(1;1)

, el sorteo correlacionado es

Lz=(2;\,1+\sqrt2)=(2;\,2{,}414)

. Para resolver

\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

se elimina y se halla

\mathbf x=(0{,}8;\,1{,}4)

. Una matriz de correlación con

\rho=0{,}9

tiene valores propios

1{,}9

0{,}1

, así que el primer factor lleva

1{,}9/2=95\%

de la varianza total. Una matriz con valores propios

1

3

tiene número de condición

3

. Con datos reales, SPY, QQQ y TLT en

5\,404

días tienen una correlación de

0{,}92

entre SPY y QQQ y de unos

-0{,}3

entre cada uno y TLT. La matriz de correlación tiene valores propios

0{,}08

0{,}86

2{,}06

, así que un factor lleva el

69\%

de la varianza, y el número de condición es

26

Resolver, no invertir: solve(A, b) es más rápido y preciso que inv(A) @ b.
Cholesky fabrica correlación: multiplique normales independientes por $L$ para obtener rendimientos con covarianza $\Sigma$ .
Vigilar el número de condición: activos muy correlacionados hacen $\Sigma$ casi singular y las soluciones inestables.

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El factor de Cholesky20 pts
Resolver un sistema10 pts
Un número de condición10 pts
La parte de varianza de un factor10 pts
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