L'essentiel de l'algèbre linéaire dans scipy.linalg

Les matrices, mécanique des portefeuilles

Un problème de portefeuille est un problème de matrices. La matrice de covariance $\Sigma$ contient les variances et les co-mouvements des actifs, et presque toute tâche demande de faire quelque chose avec elle. scipy.linalg.solve(A, b) résout $A\mathbf x=\mathbf b$ pour l'inconnue $\mathbf x$. Il ne faut pas calculer l'inverse inv(A) puis multiplier : la résolution directe fait moins de travail et perd moins de précision. La factorisation de Cholesky, linalg.cholesky(S, lower=True), découpe une matrice de covariance en $\Sigma=LL^{\top}$, où $L$ est triangulaire inférieure, c'est-à-dire avec des zéros au-dessus de la diagonale. Si $\mathbf z$ est un vecteur de nombres normaux standard indépendants, alors $L\mathbf z$ a pour covariance $\Sigma$, et c'est ainsi qu'on simule des rendements corrélés.

Les valeurs propres de $\Sigma$ disent combien de sources de risque indépendantes il y a vraiment. linalg.eigvalsh(S) les renvoie pour une matrice symétrique, de la plus petite à la plus grande. Pour deux actifs de corrélation $\rho$, la matrice de corrélation a pour valeurs propres $1+\rho$ et $1-\rho$, donc des actifs très corrélés ont une grande valeur propre et une toute petite. Le rapport de la plus grande à la plus petite valeur propre est le conditionnement. Un conditionnement élevé signifie que la matrice est presque singulière, c'est-à-dire presque impossible à inverser, et qu'un petit changement des données peut faire beaucoup varier la solution. Les optimiseurs qui prennent l'inverse de $\Sigma$ sont sensibles à cela.

• Résoudre, ne pas inverser : solve(A, b) est plus rapide et plus précis que inv(A) @ b.
• Cholesky fabrique la corrélation : multipliez des normales indépendantes par $L$ pour obtenir des rendements de covariance $\Sigma$.
• Surveiller le conditionnement : des actifs très corrélés rendent $\Sigma$ presque singulière et les solutions instables.

Lab : ce qui est noté

• Le facteur de Cholesky20 pts
• Résoudre un système10 pts
• Un conditionnement10 pts
• La part de variance d'un facteur10 pts
• À quoi sert chaque routine15 pts
• Simuler des rendements corrélés10 pts
• Pourquoi ne pas inverser25 pts