أساسيات الجبر الخطي في scipy.linalg

المصفوفات آلية المحافظ

مسألة المحفظة مسألة مصفوفات. تحوي مصفوفة التباين المشترك $\Sigma$ تباينات الأصول وتحركاتها المشتركة، وتكاد كل مهمة تطلب فعل شيء بها. تحل scipy.linalg.solve(A, b) المعادلة $A\mathbf x=\mathbf b$ للمجهول $\mathbf x$ . ولا ينبغي حساب المعكوس inv(A) ثم الضرب: فالحل المباشر أقل عملًا وأقل فقدًا للدقة. وتفكك عاملية تشوليسكي linalg.cholesky(S, lower=True) مصفوفة التباين المشترك إلى $\Sigma=LL^{\top}$ حيث $L$ مثلثية سفلية أي أصفار فوق القطر. وإذا كان $\mathbf z$ متجه أعداد طبيعية معيارية مستقلة فإن لـ $L\mathbf z$ تباينًا مشتركًا $\Sigma$ وبهذا نحاكي عوائد مترابطة.

تخبرك القيم الذاتية لـ $\Sigma$ بعدد مصادر الخطر المستقلة حقًا. ترجعها linalg.eigvalsh(S) لمصفوفة متناظرة من الأصغر إلى الأكبر. ولأصلين ارتباطهما $\rho$ تكون القيمتان الذاتيتان لمصفوفة الارتباط $1+\rho$ و $1-\rho$ فللأصول شديدة الارتباط قيمة ذاتية كبيرة وأخرى ضئيلة. ونسبة الأكبر إلى الأصغر هي عدد الشرط. وعدد الشرط الكبير يعني أن المصفوفة قريبة من الشذوذ أي يكاد يستحيل عكسها، وأن تغييرًا صغيرًا في البيانات قد يحرك جواب الحل كثيرًا. والمحسّنات التي تأخذ معكوس $\Sigma$ حساسة لهذا بالذات.

A\mathbf x=\mathbf b\ \Rightarrow\ \mathbf x=\text{solve}(A,\mathbf b),\qquad \Sigma=LL^{\top},\quad \mathbf r=L\mathbf z,\qquad \kappa(\Sigma)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}

(1)

أصلان يدويًالنأخذ

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. عامل تشوليسكي لها

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&\sqrt2\end{pmatrix}

لأن

LL^{\top}

يعطي

4

2

2

1+2=3

. وللسحب المستقل

z=(1,1)

يكون السحب المترابط

Lz=(2,\,1+\sqrt2)=(2,\,2.414)

. ولحل

\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

نحذف فنجد

\mathbf x=(0.8,\,1.4)

. ولمصفوفة ارتباط بـ

\rho=0.9

قيمتان ذاتيتان

1.9

0.1

فيحمل العامل الأول

1.9/2=95\%

من التباين الكلي. ولمصفوفة قيمتاها الذاتيتان

1

3

عدد شرط

3

. وفي بيانات حقيقية لـ SPY وQQQ وTLT على

5{,}404

أيام ارتباط

0.92

بين SPY وQQQ ونحو

-0.3

بين كل منهما وTLT. ولمصفوفة الارتباط قيم ذاتية

0.08

0.86

2.06

فيحمل عامل واحد

69\%

من التباين وعدد الشرط

26

حلّ لا عكس: solve(A, b) أسرع وأدق من inv(A) @ b.
تشوليسكي يصنع الارتباط: اضرب طبيعيات مستقلة في $L$ لتحصل على عوائد تباينها المشترك $\Sigma$ .
راقب عدد الشرط: الأصول شديدة الارتباط تجعل $\Sigma$ قريبة من الشذوذ والحلول غير مستقرة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

عامل تشوليسكي20 نقطة
حل نظام10 نقطة
عدد شرط10 نقطة
حصة العامل من التباين10 نقطة
فائدة كل روتين15 نقطة
محاكاة عوائد مترابطة10 نقطة
لماذا لا نعكس25 نقطة

المصفوفات آلية المحافظ

A\mathbf x=\mathbf b\ \Rightarrow\ \mathbf x=\text{solve}(A,\mathbf b),\qquad \Sigma=LL^{\top},\quad \mathbf r=L\mathbf z,\qquad \kappa(\Sigma)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}

(1)

أصلان يدويًالنأخذ

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

. عامل تشوليسكي لها

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&\sqrt2\end{pmatrix}

لأن

LL^{\top}

يعطي

4

2

2

1+2=3

. وللسحب المستقل

z=(1,1)

يكون السحب المترابط

Lz=(2,\,1+\sqrt2)=(2,\,2.414)

. ولحل

\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

نحذف فنجد

\mathbf x=(0.8,\,1.4)

. ولمصفوفة ارتباط بـ

\rho=0.9

قيمتان ذاتيتان

1.9

0.1

فيحمل العامل الأول

1.9/2=95\%

من التباين الكلي. ولمصفوفة قيمتاها الذاتيتان

1

3

عدد شرط

3

. وفي بيانات حقيقية لـ SPY وQQQ وTLT على

5{,}404

أيام ارتباط

0.92

بين SPY وQQQ ونحو

-0.3

بين كل منهما وTLT. ولمصفوفة الارتباط قيم ذاتية

0.08

0.86

2.06

فيحمل عامل واحد

69\%

من التباين وعدد الشرط

26

حلّ لا عكس: solve(A, b) أسرع وأدق من inv(A) @ b.
تشوليسكي يصنع الارتباط: اضرب طبيعيات مستقلة في $L$ لتحصل على عوائد تباينها المشترك $\Sigma$ .
راقب عدد الشرط: الأصول شديدة الارتباط تجعل $\Sigma$ قريبة من الشذوذ والحلول غير مستقرة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

عامل تشوليسكي20 نقطة
حل نظام10 نقطة
عدد شرط10 نقطة
حصة العامل من التباين10 نقطة
فائدة كل روتين15 نقطة
محاكاة عوائد مترابطة10 نقطة
لماذا لا نعكس25 نقطة

أساسيات الجبر الخطي في scipy.linalg

المصفوفات آلية المحافظ

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

أساسيات الجبر الخطي في scipy.linalg

المصفوفات آلية المحافظ

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.