scipy.linalg 中的线性代数要点

矩阵是投资组合的机器

投资组合问题就是矩阵问题。协方差矩阵 $\Sigma$ 包含各资产的方差和联动情况，几乎每项任务都要用它做点什么。scipy.linalg.solve(A, b) 对未知数 $\mathbf x$ 解 $A\mathbf x=\mathbf b$ 。不要先算逆 inv(A) 再相乘：直接求解工作量更小，精度损失也更少。乔列斯基分解 linalg.cholesky(S, lower=True) 把协方差矩阵分成 $\Sigma=LL^{\top}$ ，其中 $L$ 是下三角矩阵，即对角线上方全是零。若 $\mathbf z$ 是独立标准正态数构成的向量，则 $L\mathbf z$ 的协方差就是 $\Sigma$ ，这就是模拟相关收益的方法。

$\Sigma$ 的特征值告诉你真正有多少个独立的风险来源。linalg.eigvalsh(S) 对对称矩阵按从小到大返回特征值。两个相关系数为 $\rho$ 的资产，其相关矩阵的特征值为 $1+\rho$ 和 $1-\rho$ ，所以高度相关的资产有一个大特征值和一个极小特征值。最大特征值与最小特征值之比是条件数。条件数大意味着矩阵接近奇异，也就是几乎无法求逆，数据的微小变化就可能使求解的结果大幅摆动。使用 $\Sigma$ 的逆的优化器对此尤其敏感。

A\mathbf x=\mathbf b\ \Rightarrow\ \mathbf x=\text{solve}(A,\mathbf b),\qquad \Sigma=LL^{\top},\quad \mathbf r=L\mathbf z,\qquad \kappa(\Sigma)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}

(1)

两个资产的手算取

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

。它的乔列斯基因子是

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&\sqrt2\end{pmatrix}

，因为

LL^{\top}

给出

4

、

2

、

2

和

1+2=3

。对独立抽样

z=(1,1)

，相关的抽样为

Lz=(2,\,1+\sqrt2)=(2,\,2.414)

。解

\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

，消元得

\mathbf x=(0.8,\,1.4)

。

\rho=0.9

的相关矩阵特征值为

1.9

和

0.1

，所以第一个因子承载总方差的

1.9/2=95\%

。特征值为

1

和

3

的矩阵条件数为

3

。在真实数据上，SPY、QQQ、TLT 在

5{,}404

天里，SPY 与 QQQ 的相关系数为

0.92

，它们各自与 TLT 的相关系数约为

-0.3

。相关矩阵的特征值为

0.08

、

0.86

、

2.06

，所以一个因子承载

69\%

的方差，条件数为

26

。

求解而不是求逆：solve(A, b) 比 inv(A) @ b 更快更准。
乔列斯基制造相关性：把独立正态数乘以 $L$ ，得到协方差为 $\Sigma$ 的收益。
留意条件数：高度相关的资产使 $\Sigma$ 接近奇异，解变得不稳定。

实验：评分内容

乔列斯基因子20 分
解方程组10 分
条件数10 分
因子的方差占比10 分
各例程的用途15 分
模拟相关收益10 分
为什么不求逆25 分

矩阵是投资组合的机器

A\mathbf x=\mathbf b\ \Rightarrow\ \mathbf x=\text{solve}(A,\mathbf b),\qquad \Sigma=LL^{\top},\quad \mathbf r=L\mathbf z,\qquad \kappa(\Sigma)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}

(1)

两个资产的手算取

\Sigma=\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}

。它的乔列斯基因子是

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&\sqrt2\end{pmatrix}

，因为

LL^{\top}

给出

4

、

2

、

2

和

1+2=3

。对独立抽样

z=(1,1)

，相关的抽样为

Lz=(2,\,1+\sqrt2)=(2,\,2.414)

。解

\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

，消元得

\mathbf x=(0.8,\,1.4)

。

\rho=0.9

的相关矩阵特征值为

1.9

和

0.1

，所以第一个因子承载总方差的

1.9/2=95\%

。特征值为

1

和

3

的矩阵条件数为

3

。在真实数据上，SPY、QQQ、TLT 在

5{,}404

天里，SPY 与 QQQ 的相关系数为

0.92

，它们各自与 TLT 的相关系数约为

-0.3

。相关矩阵的特征值为

0.08

、

0.86

、

2.06

，所以一个因子承载

69\%

的方差，条件数为

26

。

求解而不是求逆：solve(A, b) 比 inv(A) @ b 更快更准。
乔列斯基制造相关性：把独立正态数乘以 $L$ ，得到协方差为 $\Sigma$ 的收益。
留意条件数：高度相关的资产使 $\Sigma$ 接近奇异，解变得不稳定。

实验：评分内容

乔列斯基因子20 分
解方程组10 分
条件数10 分
因子的方差占比10 分
各例程的用途15 分
模拟相关收益10 分
为什么不求逆25 分

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