الدوال الخاصة في تسعير الخيارات

الدوال التي تقف خلف الصيغ

تجمع scipy.special الدوال المسماة التي تتكرر في الصيغ. وأنفعها في المالية دالة التوزيع الطبيعي التراكمي $\Phi(x)$ وهي متاحة باسم special.ndtr. وترتبط بدالة الخطأ بالعلاقة $\Phi(x)=\tfrac12\big(1+\operatorname{erf}(x/\sqrt2)\big)$. ويستعملها سعر بلاك–شولز لخيار شراء بسعر فوري $S$ وتنفيذ $K$ ومعدل $r$ وتقلب $\sigma$ وأجل $T$ مرتين: $C=S\,\Phi(d_1)-K e^{-rT}\Phi(d_2)$ حيث $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$ و$d_2=d_1-\sigma\sqrt T$. وحساسية السعر للتقلب تسمى فيغا وتساوي $S\,\varphi(d_1)\sqrt T$ حيث $\varphi$ الكثافة الطبيعية. والفيغا هي ما يحتاجه حلّال نيوتن لإيجاد التقلب الضمني.

المجموعة الأخرى من الدوال الخاصة تتعلق بأعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا. يتزايد المضروب بسرعة حتى إن $171!$ يتجاوز ما يتسع له عدد عشري عادي في الحاسوب، لكن $\ln n!$ سهل: special.gammaln(n+1). وتعدّ special.comb(n, k) المسارات ذات $k$ صعودًا في شجرة من $n$ خطوة. وتحسب special.logsumexp القيمة $\ln\sum e^{x_i}$ بأمان بإخراج أكبر $x$ فلا يفيض $\ln(e^{1000}+e^{1000})=1000+\ln2$. وتحوّل special.expit(x)=1/(1+e^{-x}) أي درجة إلى احتمال بين 0 و1 كما في النموذج اللوجستي. القاعدة: اعمل باللوغاريتمات حين قد يكون العدد ضخمًا أو ضئيلًا ولا تأخذ الأسّ إلا في النهاية.

• سمِّ الدالة: تحل ndtr وerf وexpit وgammaln وcomb وlogsumexp محل صفحات من الرياضيات المكتوبة يدويًا.
• اعمل باللوغاريتمات مع القيم القصوى: استعمل gammaln وlogsumexp بدل المضروب أو مجموع أسس ضخمة.
• الفيغا تقود الحلّال: خطوة نيوتن للتقلب الضمني هي فرق السعر مقسومًا على الفيغا.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• الدالة الطبيعية من erf10 نقطة
• خيار شراء بلاك–شولز20 نقطة
• الفيغا10 نقطة
• خطوة تقلب ضمني15 نقطة
• فائدة كل دالة15 نقطة
• الطريقة الآمنة للجمع10 نقطة
• لماذا نحسب المضروب باللوغاريتمات20 نقطة