Funciones especiales en la valoración de opciones

Las funciones detrás de las fórmulas

scipy.special reúne las funciones con nombre que aparecen una y otra vez en las fórmulas. La más útil en finanzas es la función de distribución normal $\Phi(x)$, disponible como special.ndtr. Está ligada a la función de error por $\Phi(x)=\tfrac12\big(1+\operatorname{erf}(x/\sqrt2)\big)$. El precio de Black–Scholes de una opción de compra con spot $S$, ejercicio $K$, tipo $r$, volatilidad $\sigma$ y plazo $T$ la usa dos veces: $C=S\,\Phi(d_1)-K e^{-rT}\Phi(d_2)$, donde $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$ y $d_2=d_1-\sigma\sqrt T$. La sensibilidad del precio a la volatilidad se llama vega y vale $S\,\varphi(d_1)\sqrt T$, donde $\varphi$ es la densidad normal. La vega es lo que necesita un solucionador de Newton para hallar una volatilidad implícita.

El otro grupo de funciones especiales trata de números demasiado grandes o pequeños. Un factorial crece tan rápido que $171!$ ya desborda un número decimal normal en un ordenador, pero $\ln n!$ es fácil: special.gammaln(n+1). special.comb(n, k) cuenta los caminos con $k$ subidas en un árbol de $n$ pasos. special.logsumexp calcula $\ln\sum e^{x_i}$ con seguridad sacando el mayor $x$, de modo que $\ln(e^{1000}+e^{1000})=1000+\ln2$ no desborda. special.expit(x)=1/(1+e^{-x}) convierte cualquier puntuación en una probabilidad entre 0 y 1, como en un modelo logístico. La regla: trabajar en logaritmos cuando un número puede ser enorme o minúsculo y exponenciar solo al final.

• Nombrar la función: ndtr, erf, expit, gammaln, comb y logsumexp sustituyen páginas de matemáticas escritas a mano.
• Trabajar en logaritmos con extremos: use gammaln y logsumexp en lugar de un factorial o una suma de exponenciales enormes.
• La vega guía al solucionador: un paso de Newton para la volatilidad implícita es la diferencia de precio dividida por la vega.

Lab: qué se califica

• La función normal a partir de erf10 pts
• Una opción de compra de Black–Scholes20 pts
• La vega10 pts
• Un paso de volatilidad implícita15 pts
• Para qué sirve cada función15 pts
• La forma segura de sumar10 pts
• Por qué calcular factoriales con logaritmos20 pts