オプション価格付けの特殊関数

公式の裏にある関数

scipy.special は、公式に何度も現れる名前付き関数を集めています。金融で最も役立つのは正規分布の累積分布関数 $\Phi(x)$ で、special.ndtr として使えます。誤差関数とは $\Phi(x)=\tfrac12\big(1+\operatorname{erf}(x/\sqrt2)\big)$ で結ばれています。原資産価格 $S$、権利行使価格 $K$、金利 $r$、ボラティリティ $\sigma$、期間 $T$ のコールのブラック・ショールズ価格はこれを2回使います：$C=S\,\Phi(d_1)-K e^{-rT}\Phi(d_2)$、ここで $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$、$d_2=d_1-\sigma\sqrt T$ です。価格のボラティリティに対する感応度はベガと呼ばれ、$S\,\varphi(d_1)\sqrt T$（$\varphi$ は正規分布の密度）に等しく、インプライド・ボラティリティをニュートン法で求めるときに必要です。

特殊関数のもう1つのグループは、大きすぎる数や小さすぎる数を扱います。階乗は非常に速く増え、$171!$ はコンピュータの通常の小数ではすでにあふれますが、$\ln n!$ は簡単です：special.gammaln(n+1)。special.comb(n, k) は $n$ ステップの木で上昇が $k$ 回の経路の数を数えます。special.logsumexp は最大の $x$ をくくり出して $\ln\sum e^{x_i}$ を安全に計算し、$\ln(e^{1000}+e^{1000})=1000+\ln2$ をあふれさせません。special.expit(x)=1/(1+e^{-x}) は、ロジスティックモデルのように、任意のスコアを0から1の確率に変えます。規則は、数が巨大にも微小にもなりうるときは対数で計算し、指数をとるのは最後だけ、です。

• 関数に名前を使う：ndtr、erf、expit、gammaln、comb、logsumexp は手書きの数式何ページ分にも相当する。
• 極端な値は対数で計算する：階乗や巨大な指数の和の代わりに gammaln と logsumexp を使う。
• ベガがソルバーを動かす：インプライド・ボラティリティのニュートン法の1歩は、価格の差をベガで割ったもの。

ラボ：採点される内容

• erfから求める正規分布関数10点
• ブラック・ショールズのコール20点
• ベガ10点
• インプライド・ボラティリティの1歩15点
• 各関数の用途15点
• 安全な足し方10点
• なぜ階乗を対数で計算するか20点