Integração com quad e solucionadores de EDO

Somar sob uma curva: áreas e sistemas em movimento

Uma integral é a área sob uma curva. integrate.quad(f, a, b) calcula $\int_a^b f(x)\,dx$ para uma função que você escreve e devolve o valor junto com uma estimativa do erro. Ela é adaptativa: amostra mais onde a função muda rápido. Se você só tem valores em pontos, não uma função, soma fatias finas. A regra do trapézio, np.trapezoid, liga pontos vizinhos por retas e soma as áreas dos trapézios. A regra de Simpson, integrate.simpson, usa pequenas parábolas e é muito mais precisa para curvas suaves. Uma função com uma quina, como o payoff de uma call $\max(S-K,0)$ , quebra a suavidade que quad espera, então você indica onde está a quina com points=[K].

A segunda ferramenta é para sistemas que se movem. Uma equação diferencial ordinária (EDO) diz com que rapidez algo muda, por exemplo uma taxa curta puxada para um nível de longo prazo $\theta$ com velocidade $\kappa$ : $\dfrac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ . integrate.solve_ivp(f, [0, T], [r0]) a segue no tempo. O método manual mais simples é o passo de Euler, $r_{\text{novo}}=r+h\,f(r)$ , que supõe que a velocidade fica constante em um passo de comprimento $h$ . Em finanças, as integrais transformam uma curva de taxas a termo em fator de desconto: $D(T)=\exp\!\big(-\int_0^T f(t)\,dt\big)$ , e transformam um payoff e uma densidade de probabilidade em um valor esperado.

\int_a^b f\,dx\approx h\Big(\tfrac{f_0}{2}+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac{f_n}{2}\Big),\qquad r_{\text{new}}=r+h\,\kappa(\theta-r),\qquad D(T)=e^{-\int_0^T f(t)\,dt}

(1)

Uma área, uma taxa e um fator de descontoTome

\int_0^1x^{2}dx

com

4

fatias (

h=0{,}25

). As alturas são

0

0{,}0625

0{,}25

0{,}5625

1

, então a regra do trapézio dá

0{,}25\cdot(0{,}5\cdot0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625+0{,}5\cdot1)=0{,}34375

, um pouco acima do

1/3

exato. A regra de Simpson com apenas

3

pontos dá exatamente

0{,}3333

. Agora uma taxa parte de

r_0=2\%

com

\kappa=0{,}5

\theta=4\%

. Um passo de Euler de comprimento

h=1

dá

r=0{,}02+0{,}5\cdot0{,}02=3{,}0\%

, enquanto a solução exata

\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa}

2{,}787\%

e solve_ivp concorda. Uma curva de taxas a termo

f(t)=0{,}03+0{,}01t

tem área

0{,}08

0

2

anos, então

D(2)=e^{-0{,}08}=0{,}9231

. Para uma call com

S=K=100

, volatilidade de

20\%

e um ano, quad do payoff vezes a densidade normal, com points na quina, dá

7{,}9656

, o preço de Black–Scholes. Em dados reais, o rendimento de 10 anos do Tesouro de

5{,}24\%

em 9 de outubro de 2026, lido como taxa de capitalização contínua, dá

D(10)=e^{-0{,}524}=0{,}592

Função ou pontos: use quad quando puder escrever a função, e trapézio ou Simpson quando só tiver valores.
Avise o quad das quinas: um payoff como $\max(S-K,0)$ precisa de points=[K] para um resultado confiável.
Integrais precificam: a área sob uma curva a termo dá um fator de desconto, e payoff vezes densidade dá um valor esperado.

Lab: o que é avaliado

Uma área por trapézios10 pts
Um passo de Euler10 pts
A solução exata15 pts
Um fator de desconto15 pts
O integrador certo15 pts
Precificar uma call por integração10 pts
Por que avisar o quad da quina25 pts

Somar sob uma curva: áreas e sistemas em movimento

\int_a^b f\,dx\approx h\Big(\tfrac{f_0}{2}+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac{f_n}{2}\Big),\qquad r_{\text{new}}=r+h\,\kappa(\theta-r),\qquad D(T)=e^{-\int_0^T f(t)\,dt}

(1)

Uma área, uma taxa e um fator de descontoTome

\int_0^1x^{2}dx

com

4

fatias (

h=0{,}25

). As alturas são

0

0{,}0625

0{,}25

0{,}5625

1

, então a regra do trapézio dá

0{,}25\cdot(0{,}5\cdot0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625+0{,}5\cdot1)=0{,}34375

, um pouco acima do

1/3

exato. A regra de Simpson com apenas

3

pontos dá exatamente

0{,}3333

. Agora uma taxa parte de

r_0=2\%

com

\kappa=0{,}5

\theta=4\%

. Um passo de Euler de comprimento

h=1

dá

r=0{,}02+0{,}5\cdot0{,}02=3{,}0\%

, enquanto a solução exata

\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa}

2{,}787\%

e solve_ivp concorda. Uma curva de taxas a termo

f(t)=0{,}03+0{,}01t

tem área

0{,}08

0

2

anos, então

D(2)=e^{-0{,}08}=0{,}9231

. Para uma call com

S=K=100

, volatilidade de

20\%

e um ano, quad do payoff vezes a densidade normal, com points na quina, dá

7{,}9656

, o preço de Black–Scholes. Em dados reais, o rendimento de 10 anos do Tesouro de

5{,}24\%

em 9 de outubro de 2026, lido como taxa de capitalização contínua, dá

D(10)=e^{-0{,}524}=0{,}592

Função ou pontos: use quad quando puder escrever a função, e trapézio ou Simpson quando só tiver valores.
Avise o quad das quinas: um payoff como $\max(S-K,0)$ precisa de points=[K] para um resultado confiável.
Integrais precificam: a área sob uma curva a termo dá um fator de desconto, e payoff vezes densidade dá um valor esperado.

Lab: o que é avaliado

Uma área por trapézios10 pts
Um passo de Euler10 pts
A solução exata15 pts
Um fator de desconto15 pts
O integrador certo15 pts
Precificar uma call por integração10 pts
Por que avisar o quad da quina25 pts

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