Interpolação e splines para curvas

Traçar uma linha suave por poucos pontos

Os mercados cotam uma curva de juros em poucos prazos, como 2, 3 e 5 anos, mas você precisa do valor em qualquer prazo, como 2,5 anos. A interpolação preenche as lacunas entre pontos conhecidos. A forma mais simples é a linear: traçar uma reta entre dois vizinhos com np.interp ou interpolate.interp1d. Uma spline cúbica, interpolate.CubicSpline, une os pontos com pedaços de curva cúbica de modo que a inclinação e a curvatura também coincidam em cada ponto, e o resultado parece suave. Uma spline pode ultrapassar entre os pontos. PchipInterpolator evita isso ao nunca passar acima ou abaixo dos vizinhos. Dentro da faixa conhecida qualquer um serve, mas fora dela você extrapola, o que é um palpite, e um polinômio cúbico pode disparar.

A grandeza que se interpola importa. Interpolar linearmente os rendimentos é fácil, mas em finanças muitas vezes se interpola o logaritmo do fator de desconto. Com capitalização contínua, o fator de desconto é $D(t)=e^{-y(t)\,t}$ , logo $\ln D(t)=-y(t)\,t$ . Interpolá-lo linearmente mantém as taxas a termo constantes entre os nós. A taxa a termo entre os instantes $t_1$ e $t_2$ é a taxa que se pode travar hoje para esse período futuro: $f=\dfrac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}$ . Uma curva a termo suave e sensata é o verdadeiro teste de uma interpolação.

D(t)=e^{-y(t)\,t},\qquad \ln D(t)\ \text{linear between knots},\qquad f(t_1,t_2)=\frac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}

(1)

O rendimento a 2,5 anosO rendimento é

4{,}0\%

2

anos e

4{,}5\%

3

anos. A interpolação linear dá

4{,}25\%

2{,}5

anos. Interpolar

\ln D=-yt

, que vale

-0{,}080

2

anos e

-0{,}135

3

anos, dá

-0{,}1075

2{,}5

anos, então o rendimento é

0{,}1075/2{,}5=4{,}30\%

. A taxa a termo entre

2

3

anos é

(0{,}135-0{,}080)/1=5{,}5\%

. Uma spline cúbica natural por

(0;0)

(1;1)

(2;0)

S(x)=-0{,}5x^{3}+1{,}5x

[0;1]

, então

S(0{,}5)=0{,}6875

, enquanto uma reta dá

0{,}5

. Em dados reais, a curva do Tesouro de 9 de outubro de 2026 tem

5{,}24\%

10

anos e

5{,}65\%

20

anos. Em

15

anos, a interpolação linear dá

5{,}445\%

, uma spline cúbica pelos dez pontos dá

5{,}450\%

e o PCHIP dá

5{,}493\%

. Além dos dados dá errado: a mesma spline em

40

anos diz

4{,}26\%

, embora o rendimento de

30

anos seja

5{,}60\%

Interpole dentro, cuidado fora: linear, spline cúbica e PCHIP concordam dentro dos dados e divergem fora.
Escolha o que interpolar: o logaritmo do fator de desconto mantém estáveis as taxas a termo entre os nós.
Confira a curva a termo: uma boa interpolação dá taxas a termo sensatas, não só uma bela linha pelos pontos.

Lab: o que é avaliado

Uma interpolação linear10 pts
Interpolar o fator de desconto15 pts
Uma taxa a termo15 pts
Um valor de spline10 pts
A ferramenta certa15 pts
Construir uma curva10 pts
Por que não extrapolar uma spline cúbica25 pts

Traçar uma linha suave por poucos pontos

D(t)=e^{-y(t)\,t},\qquad \ln D(t)\ \text{linear between knots},\qquad f(t_1,t_2)=\frac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}

(1)

O rendimento a 2,5 anosO rendimento é

4{,}0\%

2

anos e

4{,}5\%

3

anos. A interpolação linear dá

4{,}25\%

2{,}5

anos. Interpolar

\ln D=-yt

, que vale

-0{,}080

2

anos e

-0{,}135

3

anos, dá

-0{,}1075

2{,}5

anos, então o rendimento é

0{,}1075/2{,}5=4{,}30\%

. A taxa a termo entre

2

3

anos é

(0{,}135-0{,}080)/1=5{,}5\%

. Uma spline cúbica natural por

(0;0)

(1;1)

(2;0)

S(x)=-0{,}5x^{3}+1{,}5x

[0;1]

, então

S(0{,}5)=0{,}6875

, enquanto uma reta dá

0{,}5

. Em dados reais, a curva do Tesouro de 9 de outubro de 2026 tem

5{,}24\%

10

anos e

5{,}65\%

20

anos. Em

15

anos, a interpolação linear dá

5{,}445\%

, uma spline cúbica pelos dez pontos dá

5{,}450\%

e o PCHIP dá

5{,}493\%

. Além dos dados dá errado: a mesma spline em

40

anos diz

4{,}26\%

, embora o rendimento de

30

anos seja

5{,}60\%

Interpole dentro, cuidado fora: linear, spline cúbica e PCHIP concordam dentro dos dados e divergem fora.
Escolha o que interpolar: o logaritmo do fator de desconto mantém estáveis as taxas a termo entre os nós.
Confira a curva a termo: uma boa interpolação dá taxas a termo sensatas, não só uma bela linha pelos pontos.

Lab: o que é avaliado

Uma interpolação linear10 pts
Interpolar o fator de desconto15 pts
Uma taxa a termo15 pts
Um valor de spline10 pts
A ferramenta certa15 pts
Construir uma curva10 pts
Por que não extrapolar uma spline cúbica25 pts

Interpolação e splines para curvas

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