Mínimos quadrados e ajuste de curvas

Ajustar uma curva reduzindo os erros

Muitos modelos são curvas com poucos parâmetros, e ajustar significa escolher os parâmetros que deixam a curva perto dos dados. scipy.optimize.least_squares(fun, x0) faz isso. Você escreve fun(p), que devolve o vetor de resíduos, um por dado, em que o resíduo é o valor do modelo menos o valor observado. A função então minimiza o custo $\tfrac12\sum r_i^2$. Ela parte do seu palpite x0 e avança usando o jacobiano $J$, a tabela de como cada resíduo muda quando cada parâmetro muda. Um passo de Gauss–Newton resolve $J^{\top}J\,\delta=-J^{\top}r$ e depois move os parâmetros em $\delta$. Para um modelo linear nos parâmetros, um único passo cai na resposta. bounds=(baixo, alto) mantém os parâmetros numa faixa razoável. curve_fit é um invólucro mais amigável que recebe direto o modelo $f(x,\text{parâmetros})$.

Erros ao quadrado deixam um ponto louco dominar: um resíduo de $10$ conta $100$. Uma perda robusta cresce mais devagar para resíduos grandes. Com loss='soft_l1' e f_scale=1 a penalidade é $\rho(z)=2(\sqrt{1+z}-1)$, em que $z$ é o resíduo ao quadrado. O ajuste de curvas de juros é o uso clássico. A curva de Nelson–Siegel é $y(\tau)=\beta_0+\beta_1\frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda}+\beta_2\Big(\frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda}-e^{-\tau/\lambda}\Big)$. Ela tem um nível de longo prazo $\beta_0$, uma inclinação $\beta_1$, uma corcova $\beta_2$ e um comprimento de decaimento $\lambda$ em anos, e quatro números descrevem a curva inteira. Após o ajuste, o nível de ruído é estimado por $s=\sqrt{\mathrm{SSE}/(n-p)}$, com $n$ pontos e $p$ parâmetros.

• Resíduos na entrada, parâmetros na saída: fun(p) devolve modelo menos dados e least_squares reduz a soma dos quadrados.
• Perda robusta para atípicos: soft_l1 impede que um ponto louco arraste a curva inteira.
• Quatro números para uma curva: Nelson–Siegel resume uma curva de juros com um nível, uma inclinação, uma corcova e um comprimento de decaimento.

Lab: o que é avaliado

• Uma inclinação pela origem10 pts
• Um passo de Gauss–Newton15 pts
• Uma penalidade robusta15 pts
• O nível de ruído após um ajuste10 pts
• Os argumentos de least_squares10 pts
• Um fluxo de ajuste de curva10 pts
• Por que uma perda robusta30 pts