Mínimos cuadrados y ajuste de curvas

Ajustar una curva reduciendo los errores

Muchos modelos son curvas con pocos parámetros, y ajustar significa elegir los parámetros que acercan la curva a los datos. scipy.optimize.least_squares(fun, x0) lo hace. Usted escribe fun(p), que devuelve el vector de residuos, uno por dato, donde un residuo es el valor del modelo menos el valor observado. La función minimiza entonces el coste $\tfrac12\sum r_i^2$. Parte de su estimación x0 y avanza con el jacobiano $J$, la tabla de cómo cambia cada residuo cuando cambia cada parámetro. Un paso de Gauss–Newton resuelve $J^{\top}J\,\delta=-J^{\top}r$ y luego mueve los parámetros en $\delta$. Para un modelo lineal en sus parámetros, un solo paso cae en la respuesta. bounds=(bajo, alto) mantiene los parámetros en un rango razonable. curve_fit es una envoltura más amable que recibe directamente el modelo $f(x,\text{parámetros})$.

Los errores al cuadrado dejan que un punto salvaje domine: un residuo de $10$ cuenta $100$. Una pérdida robusta crece más despacio para residuos grandes. Con loss='soft_l1' y f_scale=1 la penalización es $\rho(z)=2(\sqrt{1+z}-1)$, donde $z$ es el residuo al cuadrado. El ajuste de curvas de tipos es el uso clásico. La curva de Nelson–Siegel es $y(\tau)=\beta_0+\beta_1\frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda}+\beta_2\Big(\frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda}-e^{-\tau/\lambda}\Big)$. Tiene un nivel de largo plazo $\beta_0$, una pendiente $\beta_1$, una joroba $\beta_2$ y una longitud de decaimiento $\lambda$ en años, y cuatro números describen toda la curva. Tras el ajuste, el nivel de ruido se estima con $s=\sqrt{\mathrm{SSE}/(n-p)}$, con $n$ puntos y $p$ parámetros.

• Residuos de entrada, parámetros de salida: fun(p) devuelve modelo menos datos y least_squares reduce la suma de cuadrados.
• Pérdida robusta para atípicos: soft_l1 evita que un punto salvaje arrastre toda la curva.
• Cuatro números para una curva: Nelson–Siegel resume una curva de tipos con un nivel, una pendiente, una joroba y una longitud de decaimiento.

Lab: qué se califica

• Una pendiente por el origen10 pts
• Un paso de Gauss–Newton15 pts
• Una penalización robusta15 pts
• El nivel de ruido tras un ajuste10 pts
• Los argumentos de least_squares10 pts
• Un flujo de ajuste de curvas10 pts
• Por qué una pérdida robusta30 pts