المربعات الصغرى وملاءمة المنحنيات

ملاءمة منحنى بتقليص الأخطاء

كثير من النماذج منحنيات ذات معاملات قليلة، والملاءمة تعني اختيار المعاملات التي تجعل المنحنى قريبًا من البيانات. تفعل ذلك scipy.optimize.least_squares(fun, x0). أنت تكتب fun(p) التي ترجع متجه البواقي، واحدًا لكل نقطة بيانات، والباقي هو قيمة النموذج ناقص قيمة البيانات. ثم تصغّر الدالة التكلفة $\tfrac12\sum r_i^2$. تبدأ من تخمينك x0 وتتقدم باستعمال اليعقوبي $J$، وهو جدول يبين كيف يتغير كل باقٍ عند تغيّر كل معامل. وتحل خطوة غاوس–نيوتن المعادلة $J^{\top}J\,\delta=-J^{\top}r$ ثم تحرك المعاملات بمقدار $\delta$. وفي نموذج خطي في معاملاته تكفي خطوة واحدة للوصول إلى الجواب. ويُبقي bounds=(low, high) المعاملات في مدى معقول. وcurve_fit غلاف ألطف يأخذ النموذج $f(x,\text{المعاملات})$ مباشرة.

تترك الأخطاء المربّعة لنقطة شاذة أن تهيمن: باقٍ قدره $10$ يُحسب $100$. والخسارة المتينة تنمو أبطأ للبواقي الكبيرة. مع loss='soft_l1' وf_scale=1 تكون العقوبة $\rho(z)=2(\sqrt{1+z}-1)$ حيث $z$ مربع الباقي. وملاءمة منحنيات العائد هي الاستعمال الكلاسيكي. منحنى نيلسون–سيغل هو $y(\tau)=\beta_0+\beta_1\frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda}+\beta_2\Big(\frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda}-e^{-\tau/\lambda}\Big)$. له مستوى طويل الأجل $\beta_0$ وميل $\beta_1$ وحدبة $\beta_2$ وطول اضمحلال $\lambda$ بالسنوات، وأربعة أعداد تصف المنحنى كله. وبعد الملاءمة يُقدَّر مستوى الضوضاء بـ $s=\sqrt{\mathrm{SSE}/(n-p)}$ مع $n$ نقطة و$p$ معاملًا.

• بواقٍ للدخول ومعاملات للخروج: ترجع fun(p) النموذج ناقص البيانات وتقلّص least_squares مجموع المربعات.
• خسارة متينة للشواذ: تمنع soft_l1 نقطة شاذة من جرّ المنحنى كله.
• أربعة أعداد لمنحنى: يلخّص نيلسون–سيغل منحنى العائد بمستوى وميل وحدبة وطول اضمحلال.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• ميل عبر الأصل10 نقطة
• خطوة غاوس–نيوتن15 نقطة
• عقوبة متينة15 نقطة
• مستوى الضوضاء بعد الملاءمة10 نقطة
• وسائط least_squares10 نقطة
• سير عمل ملاءمة منحنى10 نقطة
• لماذا خسارة متينة30 نقطة