Interpolation und Splines für Kurven

Eine glatte Linie durch wenige Punkte ziehen

Märkte notieren eine Zinskurve bei wenigen Laufzeiten, etwa 2, 3 und 5 Jahren, aber man braucht den Wert bei jeder Laufzeit, etwa 2,5 Jahren. Interpolation füllt die Lücken zwischen bekannten Punkten. Am einfachsten ist die lineare Variante: eine Gerade zwischen zwei Nachbarn mit np.interp oder interpolate.interp1d. Ein kubischer Spline, interpolate.CubicSpline, verbindet die Punkte mit kubischen Kurvenstücken, sodass auch Steigung und Krümmung an jedem Punkt übereinstimmen, und das Ergebnis wirkt glatt. Ein Spline kann zwischen den Punkten überschwingen. PchipInterpolator vermeidet das, indem er nie über oder unter seine Nachbarn geht. Im bekannten Bereich ist jeder in Ordnung, außerhalb extrapoliert man aber, das ist eine Vermutung, und ein kubisches Polynom kann davonlaufen.

Es kommt darauf an, welche Größe man interpoliert. Lineare Interpolation der Renditen ist einfach, aber in der Finanzwelt interpoliert man oft stattdessen den Logarithmus des Diskontfaktors. Bei stetiger Verzinsung ist der Diskontfaktor $D(t)=e^{-y(t)\,t}$, also $\ln D(t)=-y(t)\,t$. Linear interpoliert, hält das die Terminzinsen zwischen den Stützstellen konstant. Der Terminzins zwischen den Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ ist der Zins, den man heute für diese künftige Periode festlegen kann: $f=\dfrac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}$. Eine glatte, vernünftige Terminkurve ist der eigentliche Test einer Interpolation.

• Innen interpolieren, außen vorsichtig sein: Linear, kubischer Spline und PCHIP stimmen innerhalb der Daten überein und gehen außerhalb auseinander.
• Wählen, was man interpoliert: Der Logarithmus des Diskontfaktors hält die Terminzinsen zwischen den Stützstellen stabil.
• Die Terminkurve prüfen: Eine gute Interpolation liefert vernünftige Terminzinsen, nicht nur eine schöne Linie durch die Punkte.

Lab: Was bewertet wird

• Eine lineare Interpolation10 Pkt.
• Den Diskontfaktor interpolieren15 Pkt.
• Ein Terminzins15 Pkt.
• Ein Spline-Wert10 Pkt.
• Das richtige Werkzeug15 Pkt.
• Eine Kurve aufbauen10 Pkt.
• Warum man einen kubischen Spline nicht extrapoliert25 Pkt.