Intégration avec quad et les solveurs d'EDO

Additionner sous une courbe : aires et systèmes en mouvement

Une intégrale est l'aire sous une courbe. integrate.quad(f, a, b) calcule $\int_a^b f(x)\,dx$ pour une fonction que vous écrivez, et renvoie la valeur avec une estimation d'erreur. Elle est adaptative : elle échantillonne davantage là où la fonction change vite. Si vous n'avez que des valeurs en des points, et non une fonction, vous additionnez de fines tranches. La règle des trapèzes, np.trapezoid, relie des points voisins par des droites et additionne les aires des trapèzes. La règle de Simpson, integrate.simpson, utilise de petites paraboles et est bien plus précise pour les courbes lisses. Une fonction avec un coude, comme le gain d'un call $\max(S-K,0)$ , brise la régularité attendue par quad, donc on lui indique où est le coude avec points=[K].

Le second outil sert aux systèmes qui évoluent. Une équation différentielle ordinaire (EDO) dit à quelle vitesse quelque chose change, par exemple un taux court tiré vers un niveau de long terme $\theta$ à la vitesse $\kappa$ : $\dfrac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ . integrate.solve_ivp(f, [0, T], [r0]) la suit dans le temps. La méthode manuelle la plus simple est le pas d'Euler, $r_{\text{nouveau}}=r+h\,f(r)$ , qui suppose que la vitesse reste constante sur un pas de longueur $h$ . En finance, les intégrales transforment une courbe de taux à terme en facteur d'actualisation : $D(T)=\exp\!\big(-\int_0^T f(t)\,dt\big)$ , et transforment un gain et une densité de probabilité en une espérance.

\int_a^b f\,dx\approx h\Big(\tfrac{f_0}{2}+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac{f_n}{2}\Big),\qquad r_{\text{new}}=r+h\,\kappa(\theta-r),\qquad D(T)=e^{-\int_0^T f(t)\,dt}

(1)

Une aire, un taux et un facteur d'actualisationPrenons

\int_0^1x^{2}dx

avec

4

tranches (

h=0{,}25

). Les hauteurs sont

0

0{,}0625

0{,}25

0{,}5625

1

, donc la règle des trapèzes donne

0{,}25\cdot(0{,}5\cdot0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625+0{,}5\cdot1)=0{,}34375

, un peu au-dessus du

1/3

exact. La règle de Simpson avec seulement

3

points donne exactement

0{,}3333

. Maintenant, un taux part de

r_0=2\%

avec

\kappa=0{,}5

\theta=4\%

. Un pas d'Euler de longueur

h=1

donne

r=0{,}02+0{,}5\cdot0{,}02=3{,}0\%

, alors que la solution exacte

\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa}

vaut

2{,}787\%

et solve_ivp est d'accord. Une courbe de taux à terme

f(t)=0{,}03+0{,}01t

a une aire de

0{,}08

0

2

ans, donc

D(2)=e^{-0{,}08}=0{,}9231

. Pour un call avec

S=K=100

, une volatilité de

20\%

et un an, quad du gain multiplié par la densité normale, avec points au coude, donne

7{,}9656

, le prix de Black–Scholes. Sur données réelles, le rendement à 10 ans du Trésor de

5{,}24\%

le 9 octobre 2026, lu comme un taux à capitalisation continue, donne

D(10)=e^{-0{,}524}=0{,}592

Fonction ou points : utilisez quad quand vous pouvez écrire la fonction, et trapèzes ou Simpson quand vous n'avez que des valeurs.
Signaler les coudes à quad : un gain comme $\max(S-K,0)$ demande points=[K] pour un résultat fiable.
Les intégrales servent à valoriser : l'aire sous une courbe à terme donne un facteur d'actualisation, et gain fois densité donne une espérance.

Lab : ce qui est noté

Une aire par trapèzes10 pts
Un pas d'Euler10 pts
La solution exacte15 pts
Un facteur d'actualisation15 pts
Le bon intégrateur15 pts
Valoriser un call par intégration10 pts
Pourquoi signaler le coude à quad25 pts

Additionner sous une courbe : aires et systèmes en mouvement

\int_a^b f\,dx\approx h\Big(\tfrac{f_0}{2}+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac{f_n}{2}\Big),\qquad r_{\text{new}}=r+h\,\kappa(\theta-r),\qquad D(T)=e^{-\int_0^T f(t)\,dt}

(1)

Une aire, un taux et un facteur d'actualisationPrenons

\int_0^1x^{2}dx

avec

4

tranches (

h=0{,}25

). Les hauteurs sont

0

0{,}0625

0{,}25

0{,}5625

1

, donc la règle des trapèzes donne

0{,}25\cdot(0{,}5\cdot0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625+0{,}5\cdot1)=0{,}34375

, un peu au-dessus du

1/3

exact. La règle de Simpson avec seulement

3

points donne exactement

0{,}3333

. Maintenant, un taux part de

r_0=2\%

avec

\kappa=0{,}5

\theta=4\%

. Un pas d'Euler de longueur

h=1

donne

r=0{,}02+0{,}5\cdot0{,}02=3{,}0\%

, alors que la solution exacte

\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa}

vaut

2{,}787\%

et solve_ivp est d'accord. Une courbe de taux à terme

f(t)=0{,}03+0{,}01t

a une aire de

0{,}08

0

2

ans, donc

D(2)=e^{-0{,}08}=0{,}9231

. Pour un call avec

S=K=100

, une volatilité de

20\%

et un an, quad du gain multiplié par la densité normale, avec points au coude, donne

7{,}9656

, le prix de Black–Scholes. Sur données réelles, le rendement à 10 ans du Trésor de

5{,}24\%

le 9 octobre 2026, lu comme un taux à capitalisation continue, donne

D(10)=e^{-0{,}524}=0{,}592

Fonction ou points : utilisez quad quand vous pouvez écrire la fonction, et trapèzes ou Simpson quand vous n'avez que des valeurs.
Signaler les coudes à quad : un gain comme $\max(S-K,0)$ demande points=[K] pour un résultat fiable.
Les intégrales servent à valoriser : l'aire sous une courbe à terme donne un facteur d'actualisation, et gain fois densité donne une espérance.

Lab : ce qui est noté

Une aire par trapèzes10 pts
Un pas d'Euler10 pts
La solution exacte15 pts
Un facteur d'actualisation15 pts
Le bon intégrateur15 pts
Valoriser un call par intégration10 pts
Pourquoi signaler le coude à quad25 pts

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