均值回归的时间尺度
今天偏高的利差往往之后会变低，但有多快？滞后 k 的自相关衡量今天对均值的偏离在 k 天后还剩多少：先减去均值，再计算 ρₖ=Σₜxₜxₜ₋ₖ / Σₜxₜ²。对均值回归的序列，这些数按 e^(-k/τ) 下降，τ 就是时间尺度：过了 τ 天约剩 37% 的偏离，过了 τln 2 天（半衰期）剩一半。scipy.optimize.curve_fit(model, x, y, p0=..., bounds=...) 用最小二乘找出任何模型的参数。你把模型写成函数 model(x, *params)，再给一个初值 p0 和使参数保持为正的边界，它返回最优参数及其协方差矩阵 pcov；标准误是其对角线元素的平方根。
对于 10 年期减 2 年期美债利差（2000 年以来的 6,697 天），拟合得到 τ≈1,006 天，标准误约 5，半衰期约 697 天。这个数字有误导性。把拟合在 13 个独立的 500 天窗口上重复，半衰期在 33 到 124 天之间：在每个时期内利差回归得比整个样本显示的快得多，因为整个样本还包含了各个状态之间的缓慢摆动。极小的标准误只说明曲线很好地拟合了自相关，并不说明自相关是稳定的。按窗口拟合，看估计值如何变动，并报告范围而不是单个数字。
- 自相关显示记忆：均值回归时它按 exp(-k / tau) 衰减。
curve_fit返回曲线及其不确定性：给出初值和边界，从pcov读取标准误。- 小标准误不等于稳定：相信半衰期之前先在滚动窗口上重新拟合。
实验：评分内容
- 样本自相关15 分
- 衰减模型5 分
- 拟合时间尺度25 分
- 半衰期5 分
- 滚动半衰期25 分
- 利差研究25 分