平均回帰の時間尺度
今日高いスプレッドは後で低くなりがちですが、どれくらいの速さでしょうか。ラグ k の自己相関は、今日の平均からの乖離が k 日後にどれだけ残っているかを測ります。平均を引いてから ρₖ=Σₜxₜxₜ₋ₖ / Σₜxₜ² とします。平均回帰する系列では、この数は e^(-k/τ) のように下がり、τ が時間尺度です。τ 日後に乖離の約37%が残り、τln 2 日後（半減期）に半分が残ります。scipy.optimize.curve_fit(model, x, y, p0=..., bounds=...) は任意のモデルのパラメータを最小二乗法で求めます。モデルを関数 model(x, *params) として渡し、出発推定値 p0 と、パラメータを正に保つ境界を与えると、最良のパラメータとその共分散行列 pcov を返します。標準誤差はその対角要素の平方根です。
10年国債と2年国債の利回り差（2000年以降の6,697日）では、当てはめは τ≈1,006 日、標準誤差は約5、半減期は約697日になります。この数字は誤解を招きます。500日の13個の別々の窓で当てはめ直すと半減期は33日から124日にわたります。全期間にはレジーム間のゆっくりした振れも含まれるため、各期間の中でスプレッドは全標本が示すよりずっと速く戻っていたのです。標準誤差が極小なのは曲線が自己相関によく合うことを示すだけで、自己相関が安定していることではありません。窓ごとに当てはめ、推定値がどう動くかを見て、1つの数でなく範囲を報告しましょう。
- 自己相関は記憶を示す：平均回帰では exp(-k / tau) のように減衰する。
curve_fitは曲線とその不確かさを返す：出発値と境界を与え、pcovから標準誤差を読む。- 小さな標準誤差は安定性ではない：半減期を信じる前に、ローリング窓で当てはめ直す。
ラボ：採点される内容
- 標本自己相関15点
- 減衰モデル5点
- 時間尺度の当てはめ25点
- 半減期5点
- ローリング半減期25点
- スプレッドの研究25点