从四个模型到一场公平的竞赛
本技能中的每个工具都在回答一个问题：明天的波动会有多大？常数方差、指数加权平均、GARCH(1,1)，以及基于每日最高最低价区间的 HAR 回归给出四种答案，而在它们之间做选择的唯一诚实办法是规则公平的竞赛。第 t 天的每个预测只能使用第 t 天之前的数据；GARCH 只在最初 1000 天上拟合一次，之后不再重估；四个模型在之后的日子里以收益平方为对照评分，所用损失对方差低估的惩罚重于高估。只需要 NumPy。
hₜ=λhₜ₋₁+(1-λ)rₜ₋₁², hₜ=ω+αrₜ₋₁²+βhₜ₋₁, ω=(1-α-β)σ²
EWMA 和 GARCH 都用昨天的收益平方更新方差状态。GARCH 的自由度更大：参数通过最大化高斯似然来选择，这里在一个小网格上进行，并把长期方差 σ² 固定为样本值（方差目标法）。HAR 模型则读取价格区间。它在第 t 天的特征由之前各天的 Parkinson 方差构成：昨天的值、最近 5 天的均值和最近 22 天的均值。它的目标是收益平方，噪声大但水平正确，并每 21 天用前 750 天重新拟合。评分用平均 QLIKE，即 y/h-ln(y/h)-1，其中 y 是代理，h 是预测；Diebold-Mariano 统计量则说明两个预测器的差异是否超出运气。
QLIKE=y/h-ln(y/h)-1, DM=(mean(d))/(std(d)/√n), d=L₁-L₂
真实数据怎么说在 SPY 上，对最初 1000 天之后的 4404 天评分，以收益平方为对照的平均 QLIKE：常数预测约 2.03，EWMA 约 1.63，GARCH 约 1.59（网格选择 α=0.11、β=0.88，即持续性 0.99），基于区间的 HAR 模型约 1.56。每降一级都是更好的预测。Diebold-Mariano 统计量：EWMA 对 GARCH 约 3.5，EWMA 对 HAR 约 3.6，远超 1.96；GARCH 对 HAR 约 1.9，略低于 5% 显著水平。当代理像单个收益平方这样嘈杂时，即使排序清晰，差距也不大。
- 公平规则：第 t 天的预测只用此前的数据；GARCH 在评分期之前拟合，之后以固定参数向前滤波。
- QLIKE 是损失，收益平方是代理，Diebold-Mariano 说明两个预测器是否真有差别。
- 阶梯：常数、EWMA、GARCH、基于区间的 HAR；在 SPY 上每一级都降低损失，但最后一步的差距在噪声范围内。
需要记住的四个简化代理只是一个收益平方，所以损失都偏高、差异较小；换成已实现方差会更清晰。GARCH 只在粗网格上拟合一次、不做更新，而实际系统会重新拟合。收益有厚尾，似然却是高斯的。而且评分只针对一个资产、一个含危机的时期：这里的赢家并不保证下个十年也赢。
实验：评分内容
- 基于区间的方差10 分
- EWMA 预测器15 分
- GARCH 滤波器15 分
- 在网格上拟合 GARCH15 分
- HAR 预测器20 分
- QLIKE 损失10 分
- Diebold-Mariano 统计量5 分
- 竞赛10 分