二次变差

平方后的步长加起来是多少

取 $[0,t]$ 上的一条布朗路径，把时间切成 $n$ 段等长的小段，每段长 $h=t/n$。每一段里路径走一个随机步 $\Delta W$，它是均值为 $0$、方差为 $h$ 的正态数。把每一步平方再相加。对光滑曲线，小段越小，和越趋于 $0$，因为它的步长是 $h$ 量级，平方是 $h^{2}$ 量级。随机路径则不同：每个平方步平均约为 $h$，一共有 $n$ 个，所以和稳定在 $n\cdot h=t$。这个极限就是路径的二次变差。

正是这一个事实让随机微积分与普通微积分不同。在普通微积分里，微小步长的平方小到可以忽略；这里平方步长和时间本身一样大，必须保留。它还可以被测量：把一只股票的日收益平方加起来，就得到该时期方差的估计，这正是已实现波动率的算法。

• 二次变差：平方步长之和。光滑曲线为 $0$，布朗运动为 $t$。
• 乘法表：$(dW)^{2}=dt$，而 $dW\,dt$ 与 $(dt)^{2}$ 为 $0$。
• 已实现方差是收益平方之和，估计的是 $\sigma^{2}$ 乘以时期长度。

实验：评分内容

• 把平方步长相加15 分
• 年化波动率15 分
• 和里还剩多少随机性15 分
• 平方步长的规则15 分
• 配对术语15 分
• 估计年化波动率10 分
• 为什么伊藤多出一项15 分