Quadratische Variation

Worauf sich die quadrierten Schritte summieren

Nehmen Sie einen Brownschen Pfad auf $[0,t]$ und teilen Sie die Zeit in $n$ gleiche Stücke der Länge $h=t/n$. In jedem Stück macht der Pfad einen zufälligen Schritt $\Delta W$, eine normalverteilte Zahl mit Mittelwert $0$ und Varianz $h$. Quadrieren Sie jeden Schritt und addieren Sie die Quadrate. Bei einer glatten Kurve schrumpft die Summe gegen $0$, wenn die Stücke kleiner werden, denn ihre Schritte haben die Größe $h$ und deren Quadrate $h^{2}$. Ein Zufallspfad ist anders: Jeder quadrierte Schritt ist im Mittel etwa $h$, und es gibt $n$ davon, also pendelt sich die Summe bei $n\cdot h=t$ ein. Dieser Grenzwert ist die quadratische Variation des Pfades.

Diese eine Tatsache unterscheidet die stochastische Analysis. In der gewöhnlichen Analysis ist ein winziger quadrierter Schritt so klein, dass man ihn weglässt. Hier ist der quadrierte Schritt so groß wie die Zeit selbst, also muss man ihn behalten. Man kann ihn auch messen. Addiert man die quadrierten Tagesrenditen einer Aktie, erhält man eine Schätzung ihrer Varianz in dem Zeitraum, genau so wird die realisierte Volatilität berechnet.

• Quadratische Variation: die Summe der quadrierten Schritte. Sie ist $0$ für eine glatte Kurve und $t$ für die Brownsche Bewegung.
• Multiplikationstabelle: $(dW)^{2}=dt$, während $dW\,dt$ und $(dt)^{2}$ gleich $0$ sind.
• Die realisierte Varianz ist die Summe der quadrierten Renditen. Sie schätzt $\sigma^{2}$ mal die Länge des Zeitraums.

Lab: Was bewertet wird

• Die quadrierten Schritte addieren15 Pkt.
• Eine Jahresvolatilität15 Pkt.
• Wie zufällig ist die Summe?15 Pkt.
• Die Regel für den quadrierten Schritt15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Eine Jahresvolatilität schätzen10 Pkt.
• Warum Itô einen Zusatzterm hat15 Pkt.