Variación cuadrática

A qué suman los pasos al cuadrado

Tome una trayectoria browniana en $[0,t]$ y corte el tiempo en $n$ trozos iguales de longitud $h=t/n$. En cada trozo la trayectoria da un paso aleatorio $\Delta W$, un número normal de media $0$ y varianza $h$. Eleve cada paso al cuadrado y sume. En una curva suave la suma tiende a $0$ al achicar los trozos, porque sus pasos son de tamaño $h$ y sus cuadrados de tamaño $h^{2}$. Una trayectoria aleatoria es distinta: cada paso al cuadrado vale unos $h$ en promedio y hay $n$, así que la suma se estabiliza en $n\cdot h=t$. Ese límite es la variación cuadrática de la trayectoria.

Este único hecho distingue al cálculo estocástico. En el cálculo ordinario un paso diminuto al cuadrado es tan pequeño que se descarta. Aquí el paso al cuadrado es tan grande como el tiempo mismo, así que hay que conservarlo. Además se puede medir. Sume los rendimientos diarios al cuadrado de una acción y obtendrá una estimación de su varianza en ese período, que es justo como se calcula la volatilidad realizada.

• Variación cuadrática: la suma de los pasos al cuadrado. Vale $0$ para una curva suave y $t$ para el movimiento browniano.
• Tabla de multiplicar: $(dW)^{2}=dt$, mientras que $dW\,dt$ y $(dt)^{2}$ valen $0$.
• La varianza realizada es la suma de los rendimientos al cuadrado. Estima $\sigma^{2}$ por la duración del período.

Lab: qué se califica

• Sumar los pasos al cuadrado15 pts
• Una volatilidad anual15 pts
• ¿Cuánto azar queda en la suma?15 pts
• La regla del paso al cuadrado15 pts
• Emparejar el vocabulario15 pts
• Estimar una volatilidad anual10 pts
• Por qué Itô tiene un término extra15 pts