Variation quadratique

À quoi s'additionnent les pas au carré

Prenez une trajectoire brownienne sur $[0,t]$ et coupez le temps en $n$ morceaux égaux de longueur $h=t/n$. Dans chaque morceau, la trajectoire fait un pas aléatoire $\Delta W$, un nombre normal de moyenne $0$ et de variance $h$. Élevez chaque pas au carré et additionnez. Pour une courbe lisse, la somme tend vers $0$ quand les morceaux rétrécissent, car ses pas sont de taille $h$ et leurs carrés de taille $h^{2}$. Une trajectoire aléatoire est différente : chaque pas au carré vaut environ $h$ en moyenne et il y en a $n$, donc la somme se stabilise à $n\cdot h=t$. Cette limite est la variation quadratique de la trajectoire.

Ce seul fait distingue le calcul stochastique. En calcul ordinaire, un tout petit pas au carré est si petit qu'on l'oublie. Ici, le pas au carré est aussi grand que le temps lui-même, il faut donc le garder. On peut aussi le mesurer. Additionnez les rendements quotidiens au carré d'une action et vous obtenez une estimation de sa variance sur la période, ce qui est exactement le calcul de la volatilité réalisée.

• Variation quadratique : la somme des pas au carré. Elle vaut $0$ pour une courbe lisse et $t$ pour le mouvement brownien.
• Table de multiplication : $(dW)^{2}=dt$, alors que $dW\,dt$ et $(dt)^{2}$ valent $0$.
• La variance réalisée est la somme des rendements au carré. Elle estime $\sigma^{2}$ fois la durée de la période.

Lab : ce qui est noté

• Additionner les pas au carré15 pts
• Une volatilité annuelle15 pts
• Quelle part de hasard reste dans la somme ?15 pts
• La règle du pas au carré15 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Estimer une volatilité annuelle10 pts
• Pourquoi Itô a un terme de plus15 pts