L'intégrale d'Itô

Additionner les gains d'un trader

Pensez à un trader qui détient $f_i$ titres pendant le $i$-ième petit pas de temps. Le nombre est choisi au début du pas. Le gain sur ce pas est $f_i\,\Delta W_i$, la position fois le mouvement aléatoire. Additionner tous les gains en réduisant les pas donne l'intégrale d'Itô. La règle clé est que $f$ est lu au début de chaque pas, jamais à la fin, car personne ne connaît le mouvement suivant à l'avance. C'est ce qui fait de l'intégrale un jeu équitable : sa moyenne est $0$.

La dernière formule est l'isométrie d'Itô. Elle transforme la variance d'un gain aléatoire en une intégrale ordinaire de $f^{2}$, que l'on sait calculer. Lire $f$ au début du pas change aussi certaines réponses. Par exemple $\int_0^T W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$, et non $W_T^{2}/2$ comme le dirait le calcul ordinaire. Le $-T/2$ manquant vient de la variation quadratique du sujet précédent.

• Intégrale d'Itô : la somme position fois mouvement, la position étant lue au début de chaque pas.
• Moyenne et isométrie : la moyenne est $0$ et la variance vaut $E\int f^{2}\,dt$.
• Terme en plus : $\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$, le $-T/2$ venant de la variation quadratique.

Lab : ce qui est noté

• Une variance par l'isométrie15 pts
• L'intégrale de W contre W15 pts
• Le gain d'un trader discret15 pts
• Une position qui croît avec le temps15 pts
• Pourquoi lire la position au début15 pts
• Associer les formules10 pts
• Pourquoi la moyenne est nulle15 pts