تكامل إيتو

جمع أرباح متداول

تخيّل متداولًا يحتفظ بـ $f_i$ سهمًا خلال الخطوة الزمنية الصغيرة رقم $i$. يُختار العدد في بداية الخطوة. والربح في تلك الخطوة هو $f_i\,\Delta W_i$ أي المركز مضروبًا في الحركة العشوائية. وجمع كل الأرباح مع تصغير الخطوات يعطي تكامل إيتو. القاعدة الأساسية أن $f$ يُقرأ عند بداية كل خطوة وليس عند نهايتها لأن أحدًا لا يعرف الحركة التالية مسبقًا. وهذا ما يجعل التكامل لعبة عادلة: متوسطه $0$.

الصيغة الأخيرة هي تماثل إيتو. فهي تحوّل تباين ربح عشوائي إلى تكامل عادي لـ $f^{2}$ يمكنك حسابه. وقراءة $f$ عند بداية الخطوة تغيّر بعض الإجابات أيضًا. فمثلًا $\int_0^T W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ وليس $W_T^{2}/2$ كما يقول التفاضل والتكامل المعتاد. والحد $-T/2$ الناقص مصدره التباين التربيعي في الموضوع السابق.

• تكامل إيتو: مجموع المركز في الحركة مع قراءة المركز عند بداية كل خطوة.
• المتوسط والتماثل: المتوسط $0$ والتباين $E\int f^{2}\,dt$.
• الحد الإضافي: $\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ والحد $-T/2$ يأتي من التباين التربيعي.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• تباين بالتماثل15 نقطة
• تكامل W بالنسبة إلى W15 نقطة
• ربح متداول متقطع15 نقطة
• مركز ينمو مع الزمن15 نقطة
• لماذا نقرأ المركز عند البداية15 نقطة
• طابق الصيغ10 نقطة
• لماذا المتوسط صفر15 نقطة