A integral de Itô

Somar os ganhos de um trader

Pense num trader que mantém $f_i$ ações durante o $i$-ésimo pequeno passo de tempo. O número é escolhido no início do passo. O ganho nesse passo é $f_i\,\Delta W_i$, a posição vezes o movimento aleatório. Somar todos os ganhos e reduzir os passos dá a integral de Itô. A regra-chave é que $f$ é lido no início de cada passo, nunca no fim, pois ninguém conhece o próximo movimento de antemão. É isso que faz da integral um jogo justo: sua média é $0$.

A última fórmula é a isometria de Itô. Ela transforma a variância de um ganho aleatório numa integral comum de $f^{2}$, que se pode calcular. Ler $f$ no início do passo também muda algumas respostas. Por exemplo $\int_0^T W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$, e não $W_T^{2}/2$ como diria o cálculo comum. O $-T/2$ que falta vem da variação quadrática do tópico anterior.

• Integral de Itô: a soma de posição vezes movimento, com a posição lida no início de cada passo.
• Média e isometria: a média é $0$ e a variância é $E\int f^{2}\,dt$.
• Termo extra: $\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$, com o $-T/2$ vindo da variação quadrática.

Lab: o que é avaliado

• Uma variância pela isometria15 pts
• A integral de W contra W15 pts
• O ganho de um trader discreto15 pts
• Uma posição que cresce com o tempo15 pts
• Por que ler a posição no início15 pts
• Associar as fórmulas10 pts
• Por que a média é zero15 pts