La integral de Itô

Sumar las ganancias de un operador

Piense en un operador que mantiene $f_i$ acciones durante el $i$-ésimo pequeño paso de tiempo. El número se elige al inicio del paso. La ganancia en ese paso es $f_i\,\Delta W_i$, la posición por el movimiento aleatorio. Sumar todas las ganancias y reducir los pasos da la integral de Itô. La regla clave es que $f$ se lee al inicio de cada paso, nunca al final, porque nadie conoce el siguiente movimiento de antemano. Eso hace de la integral un juego justo: su media es $0$.

La última fórmula es la isometría de Itô. Convierte la varianza de una ganancia aleatoria en una integral ordinaria de $f^{2}$, que se puede calcular. Leer $f$ al inicio del paso también cambia algunas respuestas. Por ejemplo $\int_0^T W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$, y no $W_T^{2}/2$ como diría el cálculo ordinario. El $-T/2$ que falta viene de la variación cuadrática del tema anterior.

• Integral de Itô: la suma de posición por movimiento, con la posición leída al inicio de cada paso.
• Media e isometría: la media es $0$ y la varianza es $E\int f^{2}\,dt$.
• Término extra: $\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$, con el $-T/2$ procedente de la variación cuadrática.

Lab: qué se califica

• Una varianza con la isometría15 pts
• La integral de W contra W15 pts
• La ganancia de un operador discreto15 pts
• Una posición que crece con el tiempo15 pts
• Por qué leer la posición al inicio15 pts
• Emparejar las fórmulas10 pts
• Por qué la media es cero15 pts