Das Itô-Integral | QuantCraft Academy

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Die Gewinne eines Händlers aufsummieren

Denken Sie an einen Händler, der im $i$ -ten kleinen Zeitschritt $f_i$ Aktien hält. Die Zahl wird zu Beginn des Schritts gewählt. Der Gewinn in diesem Schritt ist $f_i\,\Delta W_i$ , die Position mal die Zufallsbewegung. Addiert man alle Gewinne und verkleinert die Schritte, erhält man das Itô-Integral. Die Kernregel: $f$ wird zu Beginn jedes Schritts gelesen, nie am Ende, denn niemand kennt die nächste Bewegung im Voraus. Das macht das Integral zu einem fairen Spiel: Sein Mittelwert ist $0$ .

\int_0^T f\,dW=\lim\sum_i f(t_i)\,(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}),\qquad E\Big[\int_0^T f\,dW\Big]=0,\qquad E\Big[\Big(\int_0^T f\,dW\Big)^{2}\Big]=E\int_0^T f^{2}\,dt

(1)

Die letzte Formel ist die Itô-Isometrie. Sie macht aus der Varianz eines zufälligen Gewinns ein gewöhnliches Integral von $f^{2}$ , das man berechnen kann. Dass $f$ zu Beginn des Schritts gelesen wird, ändert auch manche Ergebnisse. Zum Beispiel ist $\int_0^T W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ und nicht $\int_0^T f\,dW=\lim\sum_i f(t_i)\,(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}),\qquad E\Big[\int_0^T f\,dW\Big]=0,\qquad E\Big[\Big(\int_0^T f\,dW\Big)^{2}\Big]=E\int_0^T f^{2}\,dt$ , wie die gewöhnliche Analysis sagen würde. Das fehlende $-T/2$ stammt aus der quadratischen Variation des letzten Themas.

Drei Aktien über vier JahreHalten Sie ständig

f=3

Aktien, dann ist

\int_0^4 3\,dW=3W_4

. Die Varianz von

W_4

ist

4

, der Gewinn hat also die Varianz

9\times4=36

. Die Isometrie liefert dieselbe Zahl ohne jede Zufallsvariable:

\int_0^4 3^{2}\,dt=36

.

Itô-Integral: die Summe aus Position mal Bewegung, mit der Position zu Beginn jedes Schritts gelesen.
Mittelwert und Isometrie: Der Mittelwert ist $0$ , die Varianz $E\int f^{2}\,dt$ .
Zusatzterm: $\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ , das $-T/2$ kommt aus der quadratischen Variation.

0/ 7 beantwortet

1Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Ein Händler hält immer $f=3$ Aktien für $T=4$ Jahre. Wie groß ist die Varianz des Gewinns $\int_0^4 3\,dW$ ?

v =

akzeptiert: ± 0.01

2Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Bei $T=1$ endet der Pfad bei $W_1=1{,}2$ . Wie groß ist $\int_0^1 W\,dW=(W_1^{2}-1)/2$ ?

i =

akzeptiert: ± 0.005

3Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Ein Händler hält in drei Schritten $0$ Aktien, jeweils vor dem Schritt gewählt. Die Kursbewegungen sind $0{,}5,\,-1,\,0{,}4$ . Wie groß ist der Gesamtgewinn $\sum f_i\Delta W_i$ ?

g =

akzeptiert: ± 0.01

4Numerische Antwort15 Pkt.Nicht beantwortet

Ein Händler hält zur Zeit $t$ von $0$ bis $3$ genau $f(t)=t$ Aktien. Wie groß ist die Varianz des Gewinns $\int_0^3 t\,dW$ ?

v =

akzeptiert: ± 0.01

5Auswahl15 Pkt.Nicht beantwortet

Warum verwendet das Itô-Integral die Position am Anfang jedes Schritts?

6Zuordnen10 Pkt.Nicht beantwortet

Ordnen Sie jedem Element seinen Wert zu.

Wähle den Partner für jedes Element links.

Der Mittelwert eines Itô-Integrals

Die Varianz eines Itô-Integrals

\int_0^T W\,dW

7In Worten erklären15 Pkt.Nicht beantwortet

Erklären Sie in ein bis zwei Sätzen, warum ein Itô-Integral den Mittelwert null hat.

Bewertet nach:Die Position wird vor dem Schritt gewähltJeder Schritt hat Mittelwert null, also jeder Gewinn im Mittel null0 / 400 Zeichen

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