伊藤积分

路线进度模块 1/5 · 主题 3/3

1.3 伊藤积分

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

把交易者的收益加起来

设想一位交易者在第 $i$ 个小时间步内持有 $f_i$ 股，持仓数在这一步开始时就定好了。这一步的收益是 $f_i\,\Delta W_i$ ，即持仓乘以随机变动。把所有收益加起来并让步长缩小，就得到伊藤积分。关键规则是 $f$ 取每一步的起点值，而不是终点值，因为没有人能提前知道下一步的变动。这使积分成为一场公平游戏：它的均值是 $0$ 。

\int_0^T f\,dW=\lim\sum_i f(t_i)\,(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}),\qquad E\Big[\int_0^T f\,dW\Big]=0,\qquad E\Big[\Big(\int_0^T f\,dW\Big)^{2}\Big]=E\int_0^T f^{2}\,dt

(1)

最后一个公式是伊藤等距。它把随机收益的方差变成 $f^{2}$ 的普通积分，这个你可以直接算。在步长起点读取 $f$ 也会改变一些结果，例如 $\int_0^T W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ ，而不是普通微积分给出的 $W_T^{2}/2$ 。缺少的 $-T/2$ 来自上一个主题的二次变差。

持有三股四年始终持有

f=3

股，则

\int_0^4 3\,dW=3W_4

。

W_4

的方差是

4

，所以收益的方差是

9\times4=36

。等距公式不用任何随机变量就得到同一个数：

\int_0^4 3^{2}\,dt=36

。

伊藤积分：持仓乘以变动之和，持仓取每步起点值。
均值与等距：均值为 $0$ ，方差为 $E\int f^{2}\,dt$ 。
额外项： $\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ ，其中 $-T/2$ 来自二次变差。

实验：评分内容

用等距公式求方差15 分
W 对 W 的积分15 分
离散交易者的收益15 分
随时间增长的持仓15 分
为什么取起点处的持仓15 分
配对公式10 分
为什么均值为零15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

交易者在 $T=4$ 年内始终持有 $f=3$ 股。收益 $\int_0^4 3\,dW$ 的方差是多少？

v =

允许误差:± 0.01

2数值作答15 分未作答

在 $T=1$ 时路径终点为 $W_1=1.2$ 。 $\int_0^1 W\,dW=(W_1^{2}-1)/2$ 等于多少？

i =

允许误差:± 0.005

3数值作答15 分未作答

交易者在三步中分别持有 $2,\,1,\,3$ 股，每步之前确定。价格变动为 $0.5,\,-1,\,0.4$ 。总收益 $\sum f_i\Delta W_i$ 是多少？

g =

允许误差:± 0.01

4数值作答15 分未作答

交易者在 $0$ 到 $3$ 的时刻 $t$ 持有 $f(t)=t$ 股。收益 $\int_0^3 t\,dW$ 的方差是多少？

v =

允许误差:± 0.01

5选择15 分未作答

伊藤积分为什么使用每一步起点处的持仓？

6配对10 分未作答

把每一项与其取值配对。

为左侧每一项选择配对项。

伊藤积分的均值

伊藤积分的方差

\int_0^T W\,dW

7用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么伊藤积分的均值为零。

评分依据:持仓在这一步之前确定每一步均值为零，所以每笔收益平均为零0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

伊藤积分

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1.3 伊藤积分

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

把交易者的收益加起来

\int_0^T f\,dW=\lim\sum_i f(t_i)\,(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}),\qquad E\Big[\int_0^T f\,dW\Big]=0,\qquad E\Big[\Big(\int_0^T f\,dW\Big)^{2}\Big]=E\int_0^T f^{2}\,dt

(1)

持有三股四年始终持有

f=3

股，则

\int_0^4 3\,dW=3W_4

。

W_4

的方差是

4

，所以收益的方差是

9\times4=36

。等距公式不用任何随机变量就得到同一个数：

\int_0^4 3^{2}\,dt=36

。

伊藤积分：持仓乘以变动之和，持仓取每步起点值。
均值与等距：均值为 $0$ ，方差为 $E\int f^{2}\,dt$ 。
额外项： $\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ ，其中 $-T/2$ 来自二次变差。

实验：评分内容

用等距公式求方差15 分
W 对 W 的积分15 分
离散交易者的收益15 分
随时间增长的持仓15 分
为什么取起点处的持仓15 分
配对公式10 分
为什么均值为零15 分

0/ 已答 7 题

1数值作答15 分未作答

交易者在 $T=4$ 年内始终持有 $f=3$ 股。收益 $\int_0^4 3\,dW$ 的方差是多少？

v =

允许误差:± 0.01

2数值作答15 分未作答

在 $T=1$ 时路径终点为 $W_1=1.2$ 。 $\int_0^1 W\,dW=(W_1^{2}-1)/2$ 等于多少？

i =

允许误差:± 0.005

3数值作答15 分未作答

交易者在三步中分别持有 $2,\,1,\,3$ 股，每步之前确定。价格变动为 $0.5,\,-1,\,0.4$ 。总收益 $\sum f_i\Delta W_i$ 是多少？

g =

允许误差:± 0.01

4数值作答15 分未作答

交易者在 $0$ 到 $3$ 的时刻 $t$ 持有 $f(t)=t$ 股。收益 $\int_0^3 t\,dW$ 的方差是多少？

v =

允许误差:± 0.01

5选择15 分未作答

伊藤积分为什么使用每一步起点处的持仓？

6配对10 分未作答

把每一项与其取值配对。

为左侧每一项选择配对项。

伊藤积分的均值

伊藤积分的方差

\int_0^T W\,dW

7用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么伊藤积分的均值为零。

评分依据:持仓在这一步之前确定每一步均值为零，所以每笔收益平均为零0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/7 题 · Ctrl ⏎ 检查

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实验：评分内容

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