伊藤積分

トレーダーの損益を足し合わせる

$i$ 番目の小さな時間ステップの間に $f_i$ 株を保有するトレーダーを考えます。保有数はステップの始めに決めます。このステップの損益は、保有数にランダムな動きを掛けた $f_i\,\Delta W_i$ です。すべての損益を足し、ステップを細かくしたものが伊藤積分です。大事な規則は、$f$ を各ステップの終わりではなく始めに読むことです。次の動きは誰にも事前にわからないからです。そのため積分は公正なゲームになり、平均は $0$ です。

最後の式が伊藤の等長性です。ランダムな損益の分散を、計算できる $f^{2}$ の通常の積分に変えます。ステップの始めで $f$ を読むことは、答えが変わる原因にもなります。例えば $\int_0^T W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$ であり、通常の微積分が言う $W_T^{2}/2$ ではありません。足りない $-T/2$ は前のトピックの二次変動に由来します。

• 伊藤積分：保有数×動きの和。保有数は各ステップの始めで読む。
• 平均と等長性：平均は $0$、分散は $E\int f^{2}\,dt$。
• 追加項：$\int W\,dW=(W_T^{2}-T)/2$。$-T/2$ は二次変動に由来する。

ラボ：採点される内容

• 等長性で求める分散15点
• W を W で積分する15点
• 離散的なトレーダーの損益15点
• 時間とともに増える保有数15点
• なぜ保有数を始めで読むのか15点
• 式を結び付ける10点
• なぜ平均が 0 なのか15点