二次変動

二乗した歩みは何になるか

$[0,t]$ 上のブラウン運動の経路を取り、時間を長さ $h=t/n$ の等しい $n$ 個に区切ります。各区間で経路はランダムな一歩 $\Delta W$（平均 $0$、分散 $h$ の正規分布の数）を踏みます。各一歩を二乗して足し合わせます。滑らかな曲線なら、区間を細かくすると和は $0$ に縮みます。一歩の大きさが $h$、その二乗が $h^{2}$ だからです。ランダムな経路は違います。二乗した一歩は平均で約 $h$ で、それが $n$ 個あるので、和は $n\cdot h=t$ に落ち着きます。この極限が経路の二次変動です。

この1つの事実が確率解析を通常の微積分と分けています。通常の微積分では、小さな一歩の二乗はあまりに小さいので無視します。ここでは二乗した一歩が時間そのものと同じ大きさなので、残さなければなりません。しかもこれは測れます。株の日次リターンの二乗を足し合わせれば、その期間の分散の推定値になり、これがまさに実現ボラティリティの計算です。

• 二次変動：二乗した歩みの和。滑らかな曲線では $0$、ブラウン運動では $t$。
• 掛け算表：$(dW)^{2}=dt$、一方 $dW\,dt$ と $(dt)^{2}$ は $0$。
• 実現分散は二乗リターンの和で、$\sigma^{2}$ に期間の長さを掛けたものを推定する。

ラボ：採点される内容

• 二乗した歩みを足す15点
• 年率ボラティリティ15点
• 和にどれだけランダムさが残るか15点
• 二乗した歩みの規則15点
• 用語を結び付ける15点
• 年率ボラティリティを推定する10点
• 伊藤に追加項がある理由15点