التباين التربيعي

إلى ماذا تتجمع الخطوات المربعة

خذ مسارًا براونيًا على $[0,t]$ وقسّم الزمن إلى $n$ قطعة متساوية طول كل منها $h=t/n$. في كل قطعة يخطو المسار خطوة عشوائية $\Delta W$ وهي عدد طبيعي متوسطه $0$ وتباينه $h$. ربّع كل خطوة واجمع المربعات. في المنحنى الأملس يؤول المجموع إلى $0$ كلما صغرت القطع، لأن خطواته بحجم $h$ ومربعاتها بحجم $h^{2}$. أما المسار العشوائي فمختلف: كل خطوة مربعة تساوي نحو $h$ في المتوسط وعددها $n$، فيستقر المجموع عند $n\cdot h=t$. هذه النهاية هي التباين التربيعي للمسار.

هذه الحقيقة الواحدة هي ما يميّز التفاضل العشوائي. ففي التفاضل المعتاد تكون الخطوة الصغيرة المربعة صغيرة جدًا فتُهمل. أما هنا فالخطوة المربعة بحجم الزمن نفسه، فلا بد من الإبقاء عليها. ويمكن أيضًا قياسها. اجمع مربعات العوائد اليومية لسهم تحصل على تقدير لتباينه في تلك الفترة، وهذه بالضبط طريقة حساب التقلب المحقَّق.

• التباين التربيعي: مجموع الخطوات المربعة. يساوي $0$ للمنحنى الأملس و$t$ للحركة البراونية.
• جدول الضرب: $(dW)^{2}=dt$ بينما $dW\,dt$ و$(dt)^{2}$ يساويان $0$.
• التباين المحقَّق هو مجموع مربعات العوائد. ويقدّر $\sigma^{2}$ مضروبًا في طول الفترة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• اجمع الخطوات المربعة15 نقطة
• تقلب سنوي15 نقطة
• كم من العشوائية يبقى في المجموع؟15 نقطة
• قاعدة الخطوة المربعة15 نقطة
• طابق المصطلحات15 نقطة
• تقدير التقلب السنوي10 نقطة
• لماذا يوجد حد إضافي عند إيتو15 نقطة