Variação quadrática

A que somam os passos ao quadrado

Tome uma trajetória browniana em $[0,t]$ e corte o tempo em $n$ pedaços iguais de comprimento $h=t/n$. Em cada pedaço a trajetória dá um passo aleatório $\Delta W$, um número normal de média $0$ e variância $h$. Eleve cada passo ao quadrado e some. Numa curva suave a soma tende a $0$ quando os pedaços diminuem, porque seus passos são de tamanho $h$ e seus quadrados de tamanho $h^{2}$. Uma trajetória aleatória é diferente: cada passo ao quadrado vale cerca de $h$ em média e há $n$ deles, então a soma se estabiliza em $n\cdot h=t$. Esse limite é a variação quadrática da trajetória.

Esse único fato distingue o cálculo estocástico. No cálculo comum, um passo minúsculo ao quadrado é tão pequeno que se descarta. Aqui o passo ao quadrado é tão grande quanto o próprio tempo, então é preciso mantê-lo. Ele também pode ser medido. Some os retornos diários ao quadrado de uma ação e você tem uma estimativa de sua variância no período, que é exatamente como se calcula a volatilidade realizada.

• Variação quadrática: a soma dos passos ao quadrado. Vale $0$ para uma curva suave e $t$ para o movimento browniano.
• Tabuada: $(dW)^{2}=dt$, enquanto $dW\,dt$ e $(dt)^{2}$ valem $0$.
• A variância realizada é a soma dos retornos ao quadrado. Estima $\sigma^{2}$ vezes a duração do período.

Lab: o que é avaliado

• Somar os passos ao quadrado15 pts
• Uma volatilidade anual15 pts
• Quanto acaso resta na soma?15 pts
• A regra do passo ao quadrado15 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Estimar uma volatilidade anual10 pts
• Por que Itô tem um termo a mais15 pts