回归是一次投影，QR 来计算它
本技能的所有内容汇聚在一次计算里。把响应变量 y 对放在 X 各列中的回归变量做回归，就是把 y 投影到 X 的列空间上；系数 β̂ 是这次投影的权重，残差与每个回归变量正交。为了在不平方条件数的情况下求出权重，先分解 X=QR，再用回代法解三角方程组 Rβ̂=Qᵀy。调用最小二乘例程时，库做的就是这件事。
X=QR, Rβ̂=Qᵀy, R²=1-(‖e‖²)/(‖y-ȳ1‖²)
在金融中，响应变量是一只股票的日收益率，回归变量是市场和其他因子的收益率。截距 α 是因子无法解释的平均收益，每个斜率 β 是对某个因子的敏感度，R² 是因子解释的股票方差的比例。它们由日简单收益率 rₜ=Pₜ/Pₜ₋₁-1 计算得到，只使用所有序列都有收益率的交易日。
苹果公司的预期结果从 2018 年起把 AAPL 对 SPY（市场）和 MSFT 做回归，得到约 β_SPY≈1.01、β_MSFT≈0.17、R²≈0.58，在 2171 个交易日上 α 约为每天 0.035%。贝塔接近 1 说明苹果大致与市场同涨同跌，R² 说明市场和微软解释了其日方差的一半多一点，其余是苹果自身的因素。对 α 要谨慎：价格经过复权调整，文件里只有幸存的公司，这会让它显得更好看。
- 修正格拉姆-施密特构造 Q 和 R；每次都从更新后的向量中减去投影。
- 回代法从最后一行向上求解三角方程组。
- 全 1 列给出截距；没有它，拟合会被迫过原点。
相关因子会分摊功劳SPY 和 MSFT 同涨同跌，所以数据矩阵的条件并不完美。这里两者远不相同，贝塔仍然能被很好地确定；但若再加一个几乎是它们组合的第三个因子，拟合值几乎不变，各个贝塔却会剧烈摆动。请把 X 的条件数当作警示灯。
实验：评分内容
- 修正格拉姆-施密特25 分
- 回代法15 分
- 由 QR 得到的 OLS 拟合30 分
- 真实收益率上的贝塔30 分