Cholesky 分解与正定矩阵

矩阵的平方根

对称矩阵 $A$ 为正定，是指对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ 都有 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ ；等价地，它的所有特征值都为正。协方差矩阵总是半正定的，因为 $\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$ 是组合的方差，而方差不会为负。当且仅当没有冗余资产时，它才是正定的，即每个组合的方差都严格为正。

A=LL^{T},\qquad L_{jj}=\sqrt{A_{jj}-\sum_{k<j}L_{jk}^{2}},\qquad L_{ij}=\frac{A_{ij}-\sum_{k<j}L_{ik}L_{jk}}{L_{jj}}\ (i>j)

(1)

每个正定矩阵都有 Cholesky 分解 $A=LL^{T}$ ，其中 $L$ 是对角线为正的下三角矩阵：相当于矩阵的平方根。它利用对称性，代价约为 $\tfrac13n^3$ ，是 LU 的一半，而且不需要选主元。若算法在开方时遇到负数，说明矩阵不是正定的，所以 Cholesky 也是检验这一性质的廉价办法。

一个因子与一次模拟对

A=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

：

L_{11}=\sqrt4=2

，

L_{21}=2/2=1

，

L_{22}=\sqrt{5-1^2}=2

，所以

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}

，

LL^{T}=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

。要模拟相关系数为

0.6

、方差为 1 的两个收益率，把

\Sigma=\begin{pmatrix}1&0.6\\0.6&1\end{pmatrix}

分解为

L=\begin{pmatrix}1&0\\0.6&0.8\end{pmatrix}

，取

\mathbf{x}=L\mathbf{z}

，其中

\mathbf{z}

是相互独立的标准正态随机数：则

\operatorname{Cov}(\mathbf{x})=LL^{T}=\Sigma

。

正定：对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ 有 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ ；特征值全为正。
Cholesky 分解： $A=LL^{T}$ ，代价是 LU 的一半，无需选主元，也是检验正定性的廉价办法。
相关随机数： $\mathbf{x}=L\mathbf{z}$ 把独立正态随机数 $\mathbf{z}$ 变成协方差为 $\Sigma$ 的收益率。

样本协方差可能无法分解如果用比资产数还少的观测来估计协方差，或有两个资产的收益率完全相同，样本矩阵就只是半正定的，Cholesky 会在零主元或略为负的主元处停下。补救办法有：增加数据、剔除重复项、向性质良好的目标收缩，或在对角线上加一个单位矩阵的小倍数。

实验：评分内容

分解一个矩阵20 分
分解一个相关矩阵20 分
一个相关抽样15 分
哪个矩阵是正定的15 分
Cholesky 何时失败10 分
模拟相关收益率20 分

矩阵的平方根

A=LL^{T},\qquad L_{jj}=\sqrt{A_{jj}-\sum_{k<j}L_{jk}^{2}},\qquad L_{ij}=\frac{A_{ij}-\sum_{k<j}L_{ik}L_{jk}}{L_{jj}}\ (i>j)

(1)

一个因子与一次模拟对

A=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

：

L_{11}=\sqrt4=2

，

L_{21}=2/2=1

，

L_{22}=\sqrt{5-1^2}=2

，所以

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}

，

LL^{T}=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

。要模拟相关系数为

0.6

、方差为 1 的两个收益率，把

\Sigma=\begin{pmatrix}1&0.6\\0.6&1\end{pmatrix}

分解为

L=\begin{pmatrix}1&0\\0.6&0.8\end{pmatrix}

，取

\mathbf{x}=L\mathbf{z}

，其中

\mathbf{z}

是相互独立的标准正态随机数：则

\operatorname{Cov}(\mathbf{x})=LL^{T}=\Sigma

。

正定：对所有 $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ 有 $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ ；特征值全为正。
Cholesky 分解： $A=LL^{T}$ ，代价是 LU 的一半，无需选主元，也是检验正定性的廉价办法。
相关随机数： $\mathbf{x}=L\mathbf{z}$ 把独立正态随机数 $\mathbf{z}$ 变成协方差为 $\Sigma$ 的收益率。

实验：评分内容

分解一个矩阵20 分
分解一个相关矩阵20 分
一个相关抽样15 分
哪个矩阵是正定的15 分
Cholesky 何时失败10 分
模拟相关收益率20 分

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