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4.3 Cholesky et matrices définies positives
—Score du lab— / 100XP total—Série—
Des racines carrées pour les matrices
Une matrice symétrique A est définie positive quand xTAx>0 pour tout x=0 ; de façon équivalente, toutes ses valeurs propres sont positives. Les matrices de covariance sont toujours semi-définies positives, car wTΣw est la variance d'un portefeuille et une variance ne peut être négative. Elles sont définies positives, tout portefeuille ayant une variance strictement positive, exactement quand aucun actif n'est redondant.
Toute matrice définie positive admet une factorisation de Cholesky A=LLT avec L triangulaire inférieure à diagonale positive : l'analogue matriciel d'une racine carrée. Elle exploite la symétrie et coûte environ 31n3, la moitié de la LU, sans aucun pivotage. Si l'algorithme rencontre un nombre négatif sous une racine, la matrice n'est pas définie positive : Cholesky est donc un test bon marché de cette propriété.
Un facteur et une simulationPour A=(4225) : L11=4=2, L21=2/2=1, L22=5−12=2, donc L=(2102) et LLT=(4225). Pour simuler deux rendements de corrélation 0,6 et de variances unitaires, factorisez Σ=(10,60,61) en L=(10,600,8) et posez x=Lz avec z des normales standard indépendantes : alors Cov(x)=LLT=Σ.
Définie positive : xTAx>0 pour tout x=0 ; toutes les valeurs propres positives.
Cholesky : A=LLT, moitié du coût de la LU, sans pivotage, et test bon marché de la définie-positivité.
Tirages corrélés : x=Lz transforme des normales indépendantes z en rendements de covariance Σ.
Une covariance empirique peut ne pas se factoriserSi vous estimez une covariance avec moins d'observations que d'actifs, ou si deux actifs ont des rendements identiques, la matrice empirique n'est que semi-définie et Cholesky s'arrête sur un pivot nul ou légèrement négatif. Les remèdes : plus de données, supprimer les doublons, un rétrécissement vers une cible bien conditionnée, ou l'ajout à la diagonale d'un petit multiple de l'identité.
Lab : ce qui est noté
Factoriser une matrice20 pts
Factoriser une matrice de corrélation20 pts
Un tirage corrélé15 pts
Quelle matrice est définie positive15 pts
Quand Cholesky échoue10 pts
Simuler des rendements corrélés20 pts
0/ 6 traités
1Matrice · vecteur20 ptsSans réponse
Remplissez le facteur de Cholesky L de A=(9335) (triangulaire inférieure, diagonale positive).
L=
2Matrice · vecteur20 ptsSans réponse
Remplissez le facteur de Cholesky de la matrice de corrélation (10,50,51) (décimaux acceptés, trois chiffres).
L=
3Réponse numérique15 ptsSans réponse
Avec Σ=(10,60,61) et L=(10,600,8), le tirage indépendant z=(1,2) donne x=Lz. Que vaut x2 ?
x2=accepté : ± 0.001
4Choix15 ptsSans réponse
Laquelle de ces matrices symétriques est définie positive ?
5Choix10 ptsSans réponse
Cholesky échoue sur une matrice de covariance empirique. Sélectionnez toutes les causes probables.
6Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse
En deux phrases, dites comment le facteur de Cholesky d'une matrice de covariance sert à simuler des rendements corrélés.
Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 6 · Ctrl ⏎ pour vérifier
