تحليل شوليسكي والمصفوفات موجبة التحديد

جذور تربيعية للمصفوفات

تكون المصفوفة المتماثلة $A$ موجبة التحديد حين $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ لكل $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ ؛ أو بتعبير مكافئ حين تكون كل قيمها الذاتية موجبة. ومصفوفات التباين المشترك شبه موجبة التحديد دائمًا لأن $\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$ هو تباين محفظة والتباين لا يكون سالبًا. وتكون موجبة التحديد، أي لكل محفظة تباين موجب تمامًا، حين لا يوجد أصل زائد.

A=LL^{T},\qquad L_{jj}=\sqrt{A_{jj}-\sum_{k<j}L_{jk}^{2}},\qquad L_{ij}=\frac{A_{ij}-\sum_{k<j}L_{ik}L_{jk}}{L_{jj}}\ (i>j)

(1)

لكل مصفوفة موجبة التحديد تحليل شوليسكي $A=LL^{T}$ حيث $L$ مثلثية سفلى بقطر موجب: النظير المصفوفي للجذر التربيعي. يستفيد من التماثل فيكلّف نحو $\tfrac13n^3$ أي نصف كلفة LU ولا يحتاج إلى تمحور. وإذا صادفت الخوارزمية عددًا سالبًا تحت جذر فالمصفوفة ليست موجبة التحديد، وبذلك يصبح شوليسكي اختبارًا رخيصًا لهذه الخاصية.

عامل ومحاكاةلـ

A=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

L_{11}=\sqrt4=2

L_{21}=2/2=1

L_{22}=\sqrt{5-1^2}=2

فتكون

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}

LL^{T}=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

. ولمحاكاة عائدين بارتباط

0.6

وتباينين وحدويين حلّل

\Sigma=\begin{pmatrix}1&0.6\\0.6&1\end{pmatrix}

إلى

L=\begin{pmatrix}1&0\\0.6&0.8\end{pmatrix}

وضع

\mathbf{x}=L\mathbf{z}

حيث

\mathbf{z}

أعداد طبيعية معيارية مستقلة: فيكون

\operatorname{Cov}(\mathbf{x})=LL^{T}=\Sigma

موجبة التحديد: $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ لكل $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ ؛ كل القيم الذاتية موجبة.
شوليسكي: $A=LL^{T}$ بنصف كلفة LU ودون تمحور واختبار رخيص لموجبية التحديد.
سحوبات مترابطة: $\mathbf{x}=L\mathbf{z}$ يحوّل أعدادًا طبيعية مستقلة $\mathbf{z}$ إلى عوائد تباينها المشترك $\Sigma$ .

قد يتعذر تحليل التباين المشترك العيّنيإذا قدّرت التباين المشترك بملاحظات أقل من عدد الأصول، أو كان لأصلين عائدان متطابقان، فالمصفوفة العيّنية شبه موجبة التحديد فقط ويتوقف شوليسكي عند محور صفري أو سالب قليلًا. والعلاجات: بيانات أكثر، أو حذف المتكررات، أو الانكماش نحو هدف حسن السلوك، أو إضافة مضاعف صغير من مصفوفة الوحدة إلى القطر.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

حلّل مصفوفة20 نقطة
حلّل مصفوفة ارتباط20 نقطة
سحب مترابط15 نقطة
أيّ مصفوفة موجبة التحديد15 نقطة
متى يفشل شوليسكي10 نقطة
محاكاة عوائد مترابطة20 نقطة

جذور تربيعية للمصفوفات

A=LL^{T},\qquad L_{jj}=\sqrt{A_{jj}-\sum_{k<j}L_{jk}^{2}},\qquad L_{ij}=\frac{A_{ij}-\sum_{k<j}L_{ik}L_{jk}}{L_{jj}}\ (i>j)

(1)

عامل ومحاكاةلـ

A=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

L_{11}=\sqrt4=2

L_{21}=2/2=1

L_{22}=\sqrt{5-1^2}=2

فتكون

L=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}

LL^{T}=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}

. ولمحاكاة عائدين بارتباط

0.6

وتباينين وحدويين حلّل

\Sigma=\begin{pmatrix}1&0.6\\0.6&1\end{pmatrix}

إلى

L=\begin{pmatrix}1&0\\0.6&0.8\end{pmatrix}

وضع

\mathbf{x}=L\mathbf{z}

حيث

\mathbf{z}

أعداد طبيعية معيارية مستقلة: فيكون

\operatorname{Cov}(\mathbf{x})=LL^{T}=\Sigma

موجبة التحديد: $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ لكل $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ ؛ كل القيم الذاتية موجبة.
شوليسكي: $A=LL^{T}$ بنصف كلفة LU ودون تمحور واختبار رخيص لموجبية التحديد.
سحوبات مترابطة: $\mathbf{x}=L\mathbf{z}$ يحوّل أعدادًا طبيعية مستقلة $\mathbf{z}$ إلى عوائد تباينها المشترك $\Sigma$ .

المختبر: ما الذي يُقيَّم

حلّل مصفوفة20 نقطة
حلّل مصفوفة ارتباط20 نقطة
سحب مترابط15 نقطة
أيّ مصفوفة موجبة التحديد15 نقطة
متى يفشل شوليسكي10 نقطة
محاكاة عوائد مترابطة20 نقطة

تحليل شوليسكي والمصفوفات موجبة التحديد

جذور تربيعية للمصفوفات

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

تحليل شوليسكي والمصفوفات موجبة التحديد

جذور تربيعية للمصفوفات

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.