Uma matriz simétrica A é definida positiva quando xTAx>0 para todo x=0; de forma equivalente, todos os seus autovalores são positivos. Matrizes de covariância são sempre semidefinidas positivas, porque wTΣw é a variância de uma carteira e variância não pode ser negativa. São definidas positivas, com toda carteira de variância estritamente positiva, exatamente quando nenhum ativo é redundante.
Toda matriz definida positiva admite uma fatoração de Cholesky A=LLT com L triangular inferior de diagonal positiva: o análogo matricial de uma raiz quadrada. Ela aproveita a simetria, custa cerca de 31n3, metade da LU, e dispensa pivotamento. Se o algoritmo encontra um número negativo sob uma raiz, a matriz não é definida positiva, o que faz do Cholesky um teste barato dessa propriedade.
Um fator e uma simulaçãoPara A=(4225): L11=4=2, L21=2/2=1, L22=5−12=2, então L=(2102) e LLT=(4225). Para simular dois retornos com correlação 0,6 e variâncias unitárias, fatore Σ=(10,60,61) em L=(10,600,8) e tome x=Lz com z normais padrão independentes: então Cov(x)=LLT=Σ.
Definida positiva: xTAx>0 para todo x=0; todos os autovalores positivos.
Cholesky: A=LLT, metade do custo da LU, sem pivotamento e um teste barato de definição positiva.
Sorteios correlacionados: x=Lz transforma normais independentes z em retornos com covariância Σ.
Uma covariância amostral pode não fatorarSe você estima uma covariância com menos observações que ativos, ou dois ativos têm retornos idênticos, a matriz amostral é apenas semidefinida e o Cholesky para num pivô nulo ou ligeiramente negativo. Os remédios: mais dados, remover duplicados, encolhimento para um alvo bem condicionado ou somar à diagonal um pequeno múltiplo da identidade.
Lab: o que é avaliado
Fatorar uma matriz20 pts
Fatorar uma matriz de correlação20 pts
Um sorteio correlacionado15 pts
Qual matriz é definida positiva15 pts
Quando o Cholesky falha10 pts
Simular retornos correlacionados20 pts
0/ 6 respondidas
1Matriz · vetor20 ptsSem resposta
Preencha o fator de Cholesky L de A=(9335) (triangular inferior, diagonal positiva).
L=
2Matriz · vetor20 ptsSem resposta
Preencha o fator de Cholesky da matriz de correlação (10,50,51) (decimais aceitos, três dígitos).
L=
3Resposta numérica15 ptsSem resposta
Com Σ=(10,60,61) e L=(10,600,8), o sorteio independente z=(1,2) dá x=Lz. Quanto vale x2?
x2=aceito: ± 0.001
4Escolha15 ptsSem resposta
Qual destas matrizes simétricas é definida positiva?
5Escolha10 ptsSem resposta
O Cholesky falha numa matriz de covariância amostral. Selecione todas as causas prováveis.
6Explicar com palavras20 ptsSem resposta
Em duas frases, diga como o fator de Cholesky de uma matriz de covariância é usado para simular retornos correlacionados.
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