Uma regressão é uma projeção, e o QR a calcula
Tudo nesta habilidade converge em um único cálculo. A regressão de uma resposta y sobre regressores nas colunas de X projeta y sobre o espaço das colunas de X; os coeficientes β̂ são os pesos dessa projeção e o resíduo é ortogonal a cada regressor. Para achar os pesos sem elevar ao quadrado o número de condição, fatora-se X=QR e resolve-se o sistema triangular Rβ̂=Qᵀy por substituição regressiva. É o que uma biblioteca faz quando você chama uma rotina de mínimos quadrados.
Em finanças, a resposta é o retorno diário de uma ação e os regressores são os retornos do mercado e de outros fatores. O intercepto α é o retorno médio não explicado pelos fatores, cada inclinação β é a sensibilidade a um fator e R² é a parcela da variância da ação explicada pelos fatores. Calculam-se com retornos simples diários rₜ=Pₜ/Pₜ₋₁-1, usando apenas os dias em que todas as séries têm retorno.
- Gram-Schmidt modificado constrói Q e R; subtraia cada projeção do vetor atualizado.
- A substituição regressiva resolve um sistema triangular da última linha para cima.
- A coluna de uns dá o intercepto; sem ela o ajuste é forçado a passar pela origem.
Lab: o que é avaliado
- Gram-Schmidt modificado25 pts
- Substituição regressiva15 pts
- Um ajuste MQO por QR30 pts
- Betas com retornos reais30 pts