Une régression est une projection, et QR la calcule
Tout ce que couvre cette compétence se rejoint dans un seul calcul. La régression d'une réponse y sur des régresseurs placés dans les colonnes de X projette y sur l'espace des colonnes de X ; les coefficients β̂ sont les poids de cette projection, et le résidu est orthogonal à chaque régresseur. Pour trouver les poids sans mettre le conditionnement au carré, on factorise X=QR et l'on résout le système triangulaire Rβ̂=Qᵀy par substitution arrière. C'est ce que fait une bibliothèque quand vous appelez une routine de moindres carrés.
En finance, la réponse est le rendement quotidien d'une action et les régresseurs sont les rendements du marché et d'autres facteurs. La constante α est le rendement moyen non expliqué par les facteurs, chaque pente β est la sensibilité à un facteur, et R² est la part de la variance de l'action expliquée par les facteurs. On les calcule à partir de rendements simples quotidiens rₜ=Pₜ/Pₜ₋₁-1, en ne gardant que les jours où toutes les séries ont un rendement.
- Gram-Schmidt modifié construit Q et R ; retranchez chaque projection du vecteur mis à jour.
- La substitution arrière résout un système triangulaire de la dernière ligne vers le haut.
- La colonne de uns donne la constante ; sans elle, l'ajustement est forcé de passer par l'origine.
Lab : ce qui est noté
- Gram-Schmidt modifié25 pts
- Substitution arrière15 pts
- Un ajustement MCO par QR30 pts
- Des bêtas sur de vrais rendements30 pts