Una regresión es una proyección y QR la calcula
Todo lo de esta habilidad confluye en un solo cálculo. La regresión de una respuesta y sobre regresores en las columnas de X proyecta y sobre el espacio de columnas de X; los coeficientes β̂ son los pesos de esa proyección y el residuo es ortogonal a cada regresor. Para hallar los pesos sin elevar al cuadrado el número de condición, se factoriza X=QR y se resuelve el sistema triangular Rβ̂=Qᵀy por sustitución hacia atrás. Es lo que hace una biblioteca cuando se llama a una rutina de mínimos cuadrados.
En finanzas, la respuesta es el rendimiento diario de una acción y los regresores son los rendimientos del mercado y de otros factores. El intercepto α es el rendimiento medio no explicado por los factores, cada pendiente β es la sensibilidad a un factor y R² es la parte de la varianza de la acción que explican los factores. Se calculan con rendimientos simples diarios rₜ=Pₜ/Pₜ₋₁-1, usando solo los días en que todas las series tienen rendimiento.
- Gram-Schmidt modificado construye Q y R; reste cada proyección del vector actualizado.
- La sustitución hacia atrás resuelve un sistema triangular desde la última fila hacia arriba.
- La columna de unos da el intercepto; sin ella, el ajuste se fuerza a pasar por el origen.
Lab: qué se califica
- Gram-Schmidt modificado25 pts
- Sustitución hacia atrás15 pts
- Un ajuste MCO con QR30 pts
- Betas con rendimientos reales30 pts