Una matriz simétrica A es definida positiva cuando xTAx>0 para todo x=0; de forma equivalente, todos sus valores propios son positivos. Las matrices de covarianza son siempre semidefinidas positivas, porque wTΣw es la varianza de una cartera y una varianza no puede ser negativa. Son definidas positivas, con toda cartera de varianza estrictamente positiva, exactamente cuando ningún activo es redundante.
Toda matriz definida positiva admite una factorización de Cholesky A=LLT con L triangular inferior de diagonal positiva: el análogo matricial de una raíz cuadrada. Aprovecha la simetría, cuesta unos 31n3, la mitad de la LU, y no necesita pivoteo. Si el algoritmo encuentra un número negativo bajo una raíz, la matriz no es definida positiva, lo que convierte a Cholesky en una prueba barata de esa propiedad.
Un factor y una simulaciónPara A=(4225): L11=4=2, L21=2/2=1, L22=5−12=2, así que L=(2102) y LLT=(4225). Para simular dos rendimientos con correlación 0,6 y varianzas unitarias, factorice Σ=(10,60,61) en L=(10,600,8) y tome x=Lz con z normales estándar independientes: entonces Cov(x)=LLT=Σ.
Definida positiva: xTAx>0 para todo x=0; todos los valores propios positivos.
Cholesky: A=LLT, la mitad del costo de la LU, sin pivoteo y una prueba barata de definida-positividad.
Simulaciones correlacionadas: x=Lz convierte normales independientes z en rendimientos con covarianza Σ.
Una covarianza muestral puede no factorizarseSi estima una covarianza con menos observaciones que activos, o dos activos tienen rendimientos idénticos, la matriz muestral es solo semidefinida y Cholesky se detiene en un pivote nulo o ligeramente negativo. Los remedios: más datos, eliminar duplicados, contracción hacia un objetivo bien condicionado o sumar a la diagonal un pequeño múltiplo de la identidad.
Lab: qué se califica
Factorizar una matriz20 pts
Factorizar una matriz de correlación20 pts
Una muestra correlacionada15 pts
Qué matriz es definida positiva15 pts
Cuándo falla Cholesky10 pts
Simular rendimientos correlacionados20 pts
0/ 6 respondidos
1Matriz · vector20 ptsSin responder
Complete el factor de Cholesky L de A=(9335) (triangular inferior, diagonal positiva).
L=
2Matriz · vector20 ptsSin responder
Complete el factor de Cholesky de la matriz de correlación (10,50,51) (se aceptan decimales, tres dígitos).
L=
3Respuesta numérica15 ptsSin responder
Con Σ=(10,60,61) y L=(10,600,8), la muestra independiente z=(1,2) da x=Lz. ¿Cuánto vale x2?
x2=aceptado: ± 0.001
4Elección15 ptsSin responder
¿Cuál de estas matrices simétricas es definida positiva?
5Elección10 ptsSin responder
Cholesky falla con una matriz de covarianza muestral. Seleccione todas las causas probables.
6Explicar con palabras20 ptsSin responder
En dos frases, diga cómo se usa el factor de Cholesky de una matriz de covarianza para simular rendimientos correlacionados.
Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 6 · Ctrl ⏎ para comprobar
