Cholesky und positiv definite Matrizen

Quadratwurzeln für Matrizen

Eine symmetrische Matrix $A$ ist positiv definit, wenn $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ für jedes $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ gilt; gleichbedeutend sind alle Eigenwerte positiv. Kovarianzmatrizen sind stets positiv semidefinit, denn $\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$ ist die Varianz eines Portfolios, und Varianzen sind nicht negativ. Sie sind positiv definit, jedes Portfolio hat also strikt positive Varianz, genau dann, wenn kein Asset redundant ist.

Jede positiv definite Matrix besitzt eine Cholesky-Zerlegung $A=LL^{T}$ mit unterer Dreiecksmatrix $L$ und positiver Diagonale: das Matrixanalogon einer Quadratwurzel. Sie nutzt die Symmetrie, kostet etwa $\tfrac13n^3$, also halb so viel wie LU, und braucht keine Pivotisierung. Trifft der Algorithmus unter einer Wurzel auf eine negative Zahl, ist die Matrix nicht positiv definit, Cholesky ist damit ein billiger Test dieser Eigenschaft.

• Positiv definit: $\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}>0$ für alle $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$; alle Eigenwerte positiv.
• Cholesky: $A=LL^{T}$, halb so teuer wie LU, ohne Pivotisierung und ein billiger Test auf positive Definitheit.
• Korrelierte Ziehungen: $\mathbf{x}=L\mathbf{z}$ macht aus unabhängigen Normalzahlen $\mathbf{z}$ Renditen mit Kovarianz $\Sigma$.

Lab: Was bewertet wird

• Eine Matrix zerlegen20 Pkt.
• Eine Korrelationsmatrix zerlegen20 Pkt.
• Eine korrelierte Ziehung15 Pkt.
• Welche Matrix ist positiv definit15 Pkt.
• Wann Cholesky scheitert10 Pkt.
• Korrelierte Renditen simulieren20 Pkt.