Descomposición QR y Gram-Schmidt

Construir una base ortonormal

Las columnas ortonormales son las más dóciles que puede tener una matriz: $Q^{T}Q=I$ , así que $Q$ conserva longitudes y ángulos y nunca amplifica errores. Gram-Schmidt convierte columnas independientes cualesquiera $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n$ en columnas ortonormales: tome $\mathbf{q}_1=\mathbf{a}_1/\|\mathbf{a}_1\|$ y, para cada columna siguiente, reste sus proyecciones sobre los $\mathbf{q}$ ya hallados y normalice lo que queda.

A=QR,\qquad R_{ij}=\mathbf{q}_i\cdot\mathbf{a}_j\ (i\le j),\qquad \mathbf{q}_j=\frac{\mathbf{a}_j-\sum_{i<j}R_{ij}\mathbf{q}_i}{R_{jj}}

(1)

Registrar los números usados da la descomposición QR: $Q$ tiene las columnas ortonormales y $R$ es triangular superior, con $R_{ij}=\mathbf{q}_i\cdot\mathbf{a}_j$ y las longitudes $R_{jj}$ en la diagonal. Para mínimos cuadrados, $\|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|=\|QR\mathbf{x}-\mathbf{b}\|$ se minimiza con $R\hat{\mathbf{x}}=Q^{T}\mathbf{b}$ , un sistema triangular que se resuelve por sustitución hacia atrás, sin formar nunca $A^{T}A$ . Por eso $\kappa(R)=\kappa(A)$ en lugar de $\kappa(A)^2$ .

Gram-Schmidt con dos columnasSea

A=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}

, con columnas

\mathbf{a}_1=(3,4)

\mathbf{a}_2=(1,2)

. Entonces

R_{11}=\|\mathbf{a}_1\|=5

\mathbf{q}_1=(0{,}6;\ 0{,}8)

. Luego

R_{12}=\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{a}_2=2{,}2

, y

\mathbf{a}_2-2{,}2\,\mathbf{q}_1=(-0{,}32;\ 0{,}24)

tiene longitud

R_{22}=0{,}4

, así que

\mathbf{q}_2=(-0{,}8;\ 0{,}6)

. Por tanto

Q=\begin{pmatrix}0{,}6&-0{,}8\\0{,}8&0{,}6\end{pmatrix}

R=\begin{pmatrix}5&2{,}2\\0&0{,}4\end{pmatrix}

. Comprobación:

\det A=2=\det R

Q: columnas ortonormales, $Q^{T}Q=I$ , sin amplificación de errores.
R: triangular superior; su diagonal contiene las longitudes que quedan tras quitar las direcciones previas.
Gram-Schmidt modificado (o reflexiones de Householder en las bibliotecas) mantiene $Q$ ortogonal en coma flotante; la versión clásica pierde ortogonalidad con columnas casi dependientes.

Por qué las bibliotecas usan QR para la regresiónLos regresores en finanzas suelen ser casi colineales (muchos factores correlacionados, términos polinómicos). Las ecuaciones normales elevarían al cuadrado ese número de condición y devolverían basura en silencio, mientras que QR (o la SVD) se las arregla. Es el algoritmo detrás de las rutinas de mínimos cuadrados de NumPy y statsmodels, y el que construirá en el proyecto final.

Lab: qué se califica

La primera entrada diagonal10 pts
La matriz Q20 pts
La matriz R20 pts
Un determinante a partir de R15 pts
Mínimos cuadrados con QR15 pts
Por qué QR es más preciso20 pts

Construir una base ortonormal

A=QR,\qquad R_{ij}=\mathbf{q}_i\cdot\mathbf{a}_j\ (i\le j),\qquad \mathbf{q}_j=\frac{\mathbf{a}_j-\sum_{i<j}R_{ij}\mathbf{q}_i}{R_{jj}}

(1)

Gram-Schmidt con dos columnasSea

A=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}

, con columnas

\mathbf{a}_1=(3,4)

\mathbf{a}_2=(1,2)

. Entonces

R_{11}=\|\mathbf{a}_1\|=5

\mathbf{q}_1=(0{,}6;\ 0{,}8)

. Luego

R_{12}=\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{a}_2=2{,}2

, y

\mathbf{a}_2-2{,}2\,\mathbf{q}_1=(-0{,}32;\ 0{,}24)

tiene longitud

R_{22}=0{,}4

, así que

\mathbf{q}_2=(-0{,}8;\ 0{,}6)

. Por tanto

Q=\begin{pmatrix}0{,}6&-0{,}8\\0{,}8&0{,}6\end{pmatrix}

R=\begin{pmatrix}5&2{,}2\\0&0{,}4\end{pmatrix}

. Comprobación:

\det A=2=\det R

Q: columnas ortonormales, $Q^{T}Q=I$ , sin amplificación de errores.
R: triangular superior; su diagonal contiene las longitudes que quedan tras quitar las direcciones previas.
Gram-Schmidt modificado (o reflexiones de Householder en las bibliotecas) mantiene $Q$ ortogonal en coma flotante; la versión clásica pierde ortogonalidad con columnas casi dependientes.

Lab: qué se califica

La primera entrada diagonal10 pts
La matriz Q20 pts
La matriz R20 pts
Un determinante a partir de R15 pts
Mínimos cuadrados con QR15 pts
Por qué QR es más preciso20 pts

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