回帰は射影であり、QR分解がそれを計算する
このスキルの内容は、1つの計算に集約されます。被説明変数 y を X の列にある回帰変数で回帰することは、y を X の列空間に射影することです。係数 β̂ はその射影の重みで、残差はすべての回帰変数と直交します。条件数を2乗せずに重みを求めるには、X=QR と分解し、三角系 Rβ̂=Qᵀy を後退代入で解きます。最小二乗のルーチンを呼ぶとき、ライブラリが行っているのがこれです。
X=QR, Rβ̂=Qᵀy, R²=1-(‖e‖²)/(‖y-ȳ1‖²)
金融では、被説明変数は株式の日次リターン、回帰変数は市場やその他のファクターのリターンです。切片 α はファクターで説明できない平均リターン、各傾き β はファクターへの感応度、R² はファクターが説明する株式の分散の割合です。日次の単純リターン rₜ=Pₜ/Pₜ₋₁-1 から、すべての系列にリターンがある日だけを使って計算します。
アップルで期待される結果2018年以降のAAPLをSPY（市場）とMSFTで回帰すると、おおよそ β_SPY≈1.01、β_MSFT≈0.17、R²≈0.58、2171日で1日あたり約0.035パーセントの α になります。ベータが1に近いのは、アップルが市場とほぼ同じ動きをするということで、R² は市場とマイクロソフトが日次分散の半分強を説明することを示します。残りはアップル固有の動きです。α は慎重に扱ってください。価格は調整済みで、ファイルには生き残った企業しか入っていないため、実際より良く見えます。
- 修正グラム・シュミット法で Q と R を作る。更新後のベクトルから各射影を引く。
- 後退代入は三角系を最終行から上に向かって解く。
- 1の列が切片を与える。なければ原点を通るように強制される。
相関するファクターは貢献を分け合うSPYとMSFTは連動して動くので、データ行列の条件は完全ではありません。ここではこの2つが同一からほど遠いため、ベータはまだ十分に定まりますが、この2つのほぼ組み合わせになる3つ目のファクターを加えると、あてはめ値はほとんど変わらないのに個々のベータは大きくぶれます。X の条件数を警告灯として使ってください。
ラボ：採点される内容
- 修正グラム・シュミット法25点
- 後退代入15点
- QR分解によるOLSの当てはめ30点
- 実際のリターンでのベータ30点