الانحدار إسقاط، وQR يحسبه
كل ما في هذه المهارة يلتقي في حساب واحد. فانحدار متغير تابع y على متغيرات مستقلة في أعمدة X يُسقط y على فضاء أعمدة X؛ والمعاملات β̂ هي أوزان ذلك الإسقاط، والمتبقي متعامد مع كل متغير مستقل. ولإيجاد الأوزان دون تربيع رقم الاشتراط نحلّل X=QR ونحل النظام المثلثي Rβ̂=Qᵀy بالتعويض الخلفي. وهذا ما تفعله المكتبة حين تستدعي إجراء المربعات الصغرى.
X=QR, Rβ̂=Qᵀy, R²=1-(‖e‖²)/(‖y-ȳ1‖²)
في المالية يكون المتغير التابع هو العائد اليومي لسهم والمتغيرات المستقلة هي عوائد السوق وعوامل أخرى. الحد الثابت α هو متوسط العائد غير المفسَّر بالعوامل، وكل ميل β هو الحساسية لعامل، وR² هو حصة تباين السهم التي تفسّرها العوامل. تُحسب من العوائد البسيطة اليومية rₜ=Pₜ/Pₜ₋₁-1 مع استعمال الأيام التي لكل السلاسل فيها عائد فقط.
ما المتوقع مع أبليعطي انحدار AAPL على SPY (السوق) وMSFT منذ 2018 نحو β_SPY≈1.01 وβ_MSFT≈0.17 وR²≈0.58 وقيمة α تقارب 0.035 بالمئة يوميًا على مدى 2171 يومًا. وبيتا القريبة من واحد تعني أن أبل تتحرك تقريبًا مع السوق واحدًا بواحد، ويدل R² على أن السوق ومايكروسوفت يفسّران أكثر قليلًا من نصف تباينها اليومي؛ والباقي خاص بأبل. وخذ α بحذر: الأسعار معدّلة ولا يضم الملف سوى شركات ناجية مما يجمّلها.
- غرام-شميت المعدَّل يبني Q وR؛ اطرح كل إسقاط من المتجه المحدَّث.
- التعويض الخلفي يحل نظامًا مثلثيًا من الصف الأخير صعودًا.
- عمود الآحاد يعطي الحد الثابت؛ وبدونه يُجبَر المستقيم على المرور بالأصل.
العوامل المترابطة تتقاسم الفضليتحرك SPY وMSFT معًا فلا تكون مصفوفة البيانات حسنة الاشتراط تمامًا. وتبقى البيتا محددة جيدًا هنا لأن السلسلتين بعيدتان عن التطابق، لكن إضافة عامل ثالث يكاد يكون تركيبًا منهما سيجعل البيتا الفردية تتأرجح بشدة بينما لا تتغير القيم المُطابَقة إلا قليلًا. فاستعمل رقم اشتراط X كضوء تحذير.
المختبر: ما الذي يُقيَّم
- غرام-شميت المعدَّل25 نقطة
- التعويض الخلفي15 نقطة
- مطابقة OLS من QR30 نقطة
- بيتا على عوائد حقيقية30 نقطة