马尔可夫链回顾

平静的日子与动荡的日子

马尔可夫链是在各状态之间跳转的系统，下一个状态只取决于当前状态，而不取决于整个过去。设想一个市场，每天要么平静（C）要么动荡（S）。规则可以放进转移矩阵 $A$ ：元素 $A_{ij}$ 是今天处于状态 $i$ 、明天转到状态 $j$ 的概率，每一行之和为 $1$ 。比如平静日之后是平静日的概率为 $0.9$ 、是动荡日的概率为 $0.1$ ；动荡日之后是平静日的概率为 $0.2$ 、仍是动荡日的概率为 $0.8$ 。

A=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix},\qquad A^{2},\qquad \pi A=\pi,\qquad d_i=\frac{1}{1-A_{ii}}

(1)

要看两天之后，就把矩阵自乘： $A^{2}$ 就是两步概率。让链运行很久，各状态的天数占比会稳定在平稳分布 $\pi$ ，它满足 $\pi A=\pi$ ：再走一步也不改变。自转移概率为 $A_{ii}$ 的状态平均持续 $1/(1-A_{ii})$ 天，所以黏性强的状态会产生很长的连续段。后面我们正是用同样的想法来描述市场状态：持续一段时间的平静期和动荡期。

这个市场的数字今天平静时，两天后是动荡日的概率为

0.9\times0.1+0.1\times0.8=0.17

。长期来看，平静日的占比满足

\pi_C=0.9\pi_C+0.2\pi_S

，得

\pi_C=0.2/(0.1+0.2)=0.667

，即三天里有两天平静。平静期平均持续

1/(1-0.9)=10

天，动荡期平均持续

1/(1-0.8)=5

天。

马尔可夫性：明天只取决于今天的状态，与如何走到今天无关。
平稳分布 $\pi$ ：各状态天数的长期占比，满足 $\pi A=\pi$ 。
持续时间：自转移概率为 $p$ 的状态平均持续 $1/(1-p)$ 天。

实验：评分内容

两天之后15 分
平静日的长期占比15 分
平静期10 分
动荡期10 分
一条短路径10 分
马尔可夫性10 分
配对术语15 分
为什么动荡日会连续出现15 分

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