Rappel sur les chaînes de Markov

Jours calmes et jours orageux

Une chaîne de Markov est un système qui saute entre des états, où le prochain état ne dépend que de l'état courant et non de tout le passé. Pensez à un marché qui est chaque jour Calme (C) ou Orageux (O). Les règles tiennent dans une matrice de transition $A$ : l'entrée $A_{ij}$ est la probabilité de passer de l'état $i$ aujourd'hui à l'état $j$ demain. Chaque ligne somme à $1$. Disons qu'un jour calme est suivi d'un jour calme avec la probabilité $0{,}9$ et d'un jour orageux avec $0{,}1$, et qu'un jour orageux est suivi d'un jour calme avec $0{,}2$ et d'un autre jour orageux avec $0{,}8$.

Pour regarder deux jours en avant, multipliez la matrice par elle-même : $A^{2}$ contient les probabilités à deux pas. Faites tourner la chaîne longtemps et la part des jours dans chaque état se stabilise à la distribution stationnaire $\pi$, qui vérifie $\pi A=\pi$ : un pas de plus ne la change pas. Un état de probabilité propre $A_{ii}$ est conservé en moyenne $1/(1-A_{ii})$ jours, donc les états persistants produisent de longues séries. Ce sont les mêmes idées qui nous permettront plus tard de décrire des régimes de marché : des périodes calmes et orageuses qui durent un moment.

• Propriété de Markov : demain ne dépend que de l'état d'aujourd'hui, pas du chemin parcouru.
• Distribution stationnaire $\pi$ : la part de jours à long terme dans chaque état, avec $\pi A=\pi$.
• Durée : un état de probabilité propre $p$ dure en moyenne $1/(1-p)$ jours.

Lab : ce qui est noté

• Deux jours en avant15 pts
• La part à long terme de jours calmes15 pts
• Une période calme10 pts
• Une période orageuse10 pts
• Un court chemin10 pts
• La propriété de Markov10 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Pourquoi les jours orageux arrivent en séries15 pts