Revisão de cadeias de Markov

Dias calmos e dias tempestuosos

Uma cadeia de Markov é um sistema que salta entre estados, em que o próximo estado depende só do atual e não de todo o passado. Pense num mercado que a cada dia está Calmo (C) ou Tempestuoso (T). As regras cabem numa matriz de transição $A$: a entrada $A_{ij}$ é a probabilidade de ir do estado $i$ hoje ao estado $j$ amanhã. Cada linha soma $1$. Digamos que um dia calmo é seguido de um dia calmo com probabilidade $0{,}9$ e de um tempestuoso com $0{,}1$, e que um dia tempestuoso é seguido de um calmo com $0{,}2$ e de outro tempestuoso com $0{,}8$.

Para olhar dois dias à frente, multiplique a matriz por ela mesma: $A^{2}$ contém as probabilidades de dois passos. Se a cadeia roda por muito tempo, a parcela de dias em cada estado se estabiliza na distribuição estacionária $\pi$, que cumpre $\pi A=\pi$: um passo a mais não a muda. Um estado com probabilidade própria $A_{ii}$ dura em média $1/(1-A_{ii})$ dias, então estados persistentes produzem sequências longas. São as mesmas ideias que depois nos permitirão descrever regimes de mercado: períodos calmos e tempestuosos que duram um tempo.

• Propriedade de Markov: amanhã depende só do estado de hoje, não de como chegamos aqui.
• Distribuição estacionária $\pi$: a parcela de dias no longo prazo em cada estado, com $\pi A=\pi$.
• Duração: um estado com probabilidade própria $p$ dura em média $1/(1-p)$ dias.

Lab: o que é avaliado

• Dois dias à frente15 pts
• A parcela de dias calmos no longo prazo15 pts
• Uma fase calma10 pts
• Uma fase tempestuosa10 pts
• Um caminho curto10 pts
• A propriedade de Markov10 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Por que dias tempestuosos vêm em sequências15 pts