Markov-Ketten im Überblick

Ruhige und stürmische Tage

Eine Markov-Kette ist ein System, das zwischen Zuständen springt, wobei der nächste Zustand nur vom aktuellen abhängt und nicht von der ganzen Vergangenheit. Denken Sie an einen Markt, der jeden Tag Ruhig (R) oder Stürmisch (S) ist. Die Regeln passen in eine Übergangsmatrix $A$: Der Eintrag $A_{ij}$ ist die Wahrscheinlichkeit, heute von Zustand $i$ morgen zu Zustand $j$ zu wechseln. Jede Zeile summiert sich zu $1$. Sagen wir, auf einen ruhigen Tag folgt mit Wahrscheinlichkeit $0{,}9$ ein ruhiger und mit $0{,}1$ ein stürmischer, auf einen stürmischen Tag mit $0{,}2$ ein ruhiger und mit $0{,}8$ wieder ein stürmischer.

Um zwei Tage vorauszuschauen, multipliziert man die Matrix mit sich selbst: $A^{2}$ enthält die Zwei-Schritt-Wahrscheinlichkeiten. Lässt man die Kette lange laufen, pendelt sich der Anteil der Tage je Zustand bei der stationären Verteilung $\pi$ ein, die $\pi A=\pi$ erfüllt: Ein weiterer Schritt ändert sie nicht. Ein Zustand mit Eigenwahrscheinlichkeit $A_{ii}$ bleibt im Mittel $1/(1-A_{ii})$ Tage erhalten, beständige Zustände erzeugen also lange Serien. Mit denselben Ideen beschreiben wir später Marktregime: ruhige und stürmische Phasen, die eine Weile andauern.

• Markov-Eigenschaft: Morgen hängt nur vom heutigen Zustand ab, nicht vom Weg dorthin.
• Stationäre Verteilung $\pi$: der langfristige Anteil der Tage je Zustand, mit $\pi A=\pi$.
• Dauer: Ein Zustand mit Eigenwahrscheinlichkeit $p$ dauert im Mittel $1/(1-p)$ Tage.

Lab: Was bewertet wird

• Zwei Tage voraus15 Pkt.
• Der langfristige Anteil ruhiger Tage15 Pkt.
• Eine ruhige Phase10 Pkt.
• Eine stürmische Phase10 Pkt.
• Ein kurzer Pfad10 Pkt.
• Die Markov-Eigenschaft10 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Warum stürmische Tage in Serien kommen15 Pkt.