Repaso de cadenas de Markov

Días tranquilos y días tormentosos

Una cadena de Markov es un sistema que salta entre estados, donde el siguiente estado depende solo del actual y no de todo el pasado. Piense en un mercado que cada día está Tranquilo (T) o Tormentoso (S). Las reglas caben en una matriz de transición $A$: la entrada $A_{ij}$ es la probabilidad de pasar del estado $i$ hoy al estado $j$ mañana. Cada fila suma $1$. Digamos que un día tranquilo va seguido de un día tranquilo con probabilidad $0{,}9$ y de uno tormentoso con $0{,}1$, y que un día tormentoso va seguido de uno tranquilo con $0{,}2$ y de otro tormentoso con $0{,}8$.

Para mirar dos días adelante, multiplique la matriz por sí misma: $A^{2}$ contiene las probabilidades a dos pasos. Si la cadena corre mucho tiempo, la proporción de días en cada estado se estabiliza en la distribución estacionaria $\pi$, que cumple $\pi A=\pi$: un paso más no la cambia. Un estado con probabilidad propia $A_{ii}$ se mantiene en promedio $1/(1-A_{ii})$ días, así que los estados persistentes producen rachas largas. Son las mismas ideas que luego nos permitirán describir regímenes de mercado: períodos tranquilos y tormentosos que duran un tiempo.

• Propiedad de Markov: mañana depende solo del estado de hoy, no de cómo llegamos aquí.
• Distribución estacionaria $\pi$: la proporción de días a largo plazo en cada estado, con $\pi A=\pi$.
• Duración: un estado con probabilidad propia $p$ dura en promedio $1/(1-p)$ días.

Lab: qué se califica

• Dos días adelante15 pts
• La proporción a largo plazo de días tranquilos15 pts
• Una racha tranquila10 pts
• Una racha tormentosa10 pts
• Un camino corto10 pts
• La propiedad de Markov10 pts
• Emparejar el vocabulario15 pts
• Por qué los días tormentosos llegan en rachas15 pts