泰勒级数

用多项式代替函数

在某点附近，光滑函数看起来就像由该点各阶导数构成的多项式。这就是泰勒级数：从 $x$ 出发走一个小步 $h$，函数的变化等于斜率乘以 $h$，加上曲率带来的修正，再加上更高阶导数带来的更小修正。

0 附近值得记住四个级数：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$、$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$、$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ 和 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$。在几项后截断就得到便宜的近似，其误差大约等于第一项被舍去的项。

金融中每天都在用。债券价格 $P$ 取决于收益率 $y$；到二阶有 $\Delta P\approx -D\,P\,\Delta y+\tfrac{1}{2}C\,P\,(\Delta y)^2$，其中 $D$ 是修正久期（斜率项），$C$ 是凸性（曲率项）。期权的 Delta 和 Gamma 也是同样的形式：$\Delta V\approx \Delta\cdot\Delta S+\tfrac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2$。

实验：评分内容

• 指数函数的级数15 分
• 近似正弦15 分
• 误差的大小15 分
• 债券价格变化20 分
• 哪一项是曲率10 分
• 手写一个级数15 分
• 函数及其级数10 分